Reale Spannungsquelle

Das Verhalten einer realen Spannungsquelle kann am Beispiel einer Autobatterie veranschaulicht werden. Angenommen die Batterie ist auf 12V aufgeladen. Wenn Sie am Auto das Licht der Scheinwerfer angeschaltet haben und den Motor starten, dann sehen Sie, dass das Licht während des Startens etwas dunkler wird. Der Starter des Motors ist ein elektrischer Verbraucher, der den Verbrennungsmotor so lange dreht, bis dieser von selbst läuft. Die Scheinwerfer sind ebenfalls elektrische Verbraucher. Beide sind an der Batterie angeschlossen.

Durch das Starten des Motors wird so viel Strom aus der Batterie gezogen, dass die Spannung der Batterie sinkt. Das Sinken der Batteriespannung erkennen Sie daran, dass die Scheinwerfer dunkler leuchten, da sie weniger Spannung bekommen. Die Spannung einer Batterie ist abhängig vom Strom, der aus der Batterie gezogen wird. Die Batterie ist also keine ideale Spannungsquelle. Ohne Belastung fließt kein Strom aus der Batterie. Dann beträgt die Spannung 12V. Sobald Strom fließt, sinkt die Spannung von diesem Startwert aus.

Dieses Verhalten modellieren wir mit einer Reihenschaltung aus idealer Spannungsquelle mit einem „Innenwiderstand“. Der Innenwiderstand lässt die Spannung an den Batterieanschlüssen sinken, sobald Strom fließt. Er ist Teil der Batterie und befindet sich deshalb vor den Anschlussklemmen. Wir bauen damit eine reale Batterie mit bekannten idealen Bauelementen nach, damit wir ihr reales Verhalten berechnen können. Das Modell sieht folgendermaßen aus:

Die Anschlussklemmen sind mit + und – gekennzeichnet. Die an der Batterie außen messbare Spannung wird als UAus bezeichnet. Für eine Berechnung benötigen wir die Modellparameter Ui und Ri.

Ermittlung der Modellparameter

Nutzen wir dafür möglichst einfache Arbeitspunkte. Ein Arbeitspunkt ist ein Betriebspunkt einer Schaltung. Im einfachsten Arbeitspunkt fließt kein Strom aus der Schaltung, weil sie nicht belastet ist. Es fließt damit kein Strom über den Innenwiderstand. Die Ausgangsspannung entspricht damit der inneren Spannung. Wir bezeichnen diesen Arbeitspunkt als „Leerlauf“.

Die Leerlaufspannung entspricht der Spannung der inneren idealen Spannungsquelle. Sie kann sehr einfach gemessen werden, indem Sie die Spannung an einer unbelasteten Batterie messen.

Im nächsten Arbeitspunkt setzen wir die Ausgangsspannung durch einen Kurzschluss zu 0V. Dafür legen wir einen idealen Leiter (also einen Draht) zwischen die Ausgangsklemmen der Batterie. Wir messen dann den Strom durch diesen Leiter. Dafür nutzen Sie z. B. ein Multimeter. Das lernen Sie im Praktikum kennen. Die Schaltung sieht im Kurzschluss folgendermaßen aus:

Den Innenwiderstand berechnen wir aus Leerlaufspannung geteilt durch Kurzschluss-Strom. Das ist das „offizielle“ Verfahren zur Ermittlung der Modellparameter in der Elektrotechnik. In der Praxis ist es schwierig anwendbar, denn der Kurzschluss-Strom kann sehr hoch sein. Wenn Sie z. B. einen LiPo-Akku aus Ihrem Smartphone kurzschließen, dann ist der Strom so hoch, dass er anfängt zu brennen. Wenn Sie die Spannung an der Steckdose kurzschließen, dann fliegt direkt die Sicherung raus.

Wenn wir zwei Wertepaare von Spannung und Strom haben, dann können wir damit zwei Modellparameter berechnen. Den Leerlauf belassen wir bei, der ist so schön einfach herzustellen. Dann brauchen wir nur noch ein weiteres Paar aus Spannung und Strom. Dafür belasten wir die reale Quelle mit einem Lastwiderstand. Sein Widerstandswert sollte möglichst gering sein, aber ausreichend groß, damit die Quelle nicht zerstört wird.

Die Schaltung sieht dann folgendermaßen aus:

Wir messen mit einem Multimeter Spannung und Strom am Lastwiderstand. Dann betrachten wir die Gleichungen für die Reihenschaltung:

Die Größe Ui ist aus der Leerlaufmessung bekannt. Spannung und Strom am Ausgang messen wir mit einem Multimeter. Damit können wir den Wert von Ri berechnen.

Beispiel: Wenn kein Strom aus der Autobatterie fließt, beträgt die Spannung an den Klemmen einer Autobatterie UAus = 12V. Wenn eine Last 10A aus der Batterie zieht, dann sinkt die Ausgangsspannung auf 11V. Damit können wir die Modellparameter ermitteln.

Reale Batterien

Eine reale Batterie weist weitere Unterschiede zur idealen Spannungsquelle auf: Die verfügbare getrennte Ladung ist begrenzt. Dies wird durch die Kapazität C der Batterie beschrieben, die üblicherweise in [C] = Ah angegeben wird. Eine Batterie mit C = 1500mAh kann z. B. eine Stunde lang einen Strom von I = 1500mA bereitstellen, dann ist sie leer.

Eine reale Batterie kann nur mit einem begrenzten maximalen Ausgangsstrom belastet werden. Der maximale Ausgangsstrom wird üblicherweise als

angegeben. Wird diese Batterie mit 20-fachem Endladestrom beworben bedeutet dies, dass gilt:

Diese beiden Effekte werden im Modell nicht berücksichtigt. Es wird als Beispiel folgende Batterie betrachtet.

Kenndaten:

– Leerlaufspannung Ui = 3,7V

– Kapazität C = 600mAh

– Dauerbelastbarkeit (maximaler Strom) IMax = 20C = 12A

– Innenwiderstand (Angabe aus Erfahrungswerten, nicht aus der Herstellerspezifikation): Ri = 15mΩ

Die Ausgangsspannung hängt damit von der Leerlaufspannung, dem Innenwiderstand und dem Ausgangsstrom ab. Diese spezielle Batterie wird folgendermaßen modelliert:

Sie sehen in der oberen Abbildung das Modell der Batterie. Wir sprechen in der Elektrotechnik auch von elektrischem Ersatzschaltbild. Darunter sehen Sie die Formel für die Ausgangsspannung. Diese ist darunter grafisch über dem Ausgangsstrom dargestellt. Der Innenwiderstand ist gering, die Ausgangsspannung sinkt nur geringfügig mit dem Strom.

Weiter