Pont complet

Le pont avec PT100 se compose de deux résistances fixes et de deux résistances variables. On l’appelle « demi-pont », car seule la moitié des résistances contribue à la variation de tension avec la grandeur physique. Cela tient au fait que la résistance d’une PT100 augmente toujours quand la température monte.

Considérons un capteur dont la résistance augmente ou diminue, selon le cas, avec la grandeur physique. C’est le cas par exemple d’une jauge de déformation. Une jauge de déformation est constituée d’une piste conductrice dont la longueur peut être soit comprimée (réduite), soit étirée (augmentée). Quand la longueur l augmente, sa section A diminue légèrement, car le volume du corps reste constant. En raison de ce changement de géométrie, la résistance ohmique de la piste varie, car :

\[ \begin{gathered} R = \frac{l}{\kappa \cdot A} \\[6pt] \text{Pour une variation de longueur } \Delta l \text{ (sans démonstration) :} \\[6pt] l = l_0 + \Delta l \rightarrow R \approx \frac{l_0 + 2\Delta l}{\kappa \cdot A} = \frac{l_0}{\kappa \cdot A} + \frac{2\Delta l}{\kappa \cdot A} = R_0 + \Delta R \\[6pt] R_0 = \frac{l_0}{\kappa \cdot A} \text{ et } \Delta R = \frac{2\Delta l}{\kappa \cdot A} \\[6pt] \text{Compression : } \Delta l \text{ négatif} \rightarrow \Delta R \text{ négatif} \rightarrow R \text{ diminue} \\[6pt] \text{Étirement : } \Delta l \text{ positif} \rightarrow \Delta R \text{ positif} \rightarrow R \text{ augmente} \end{gathered} \]

Le facteur 2 de l’équation provient d’une approximation tenant compte à la fois de l’allongement et de la réduction de section lorsqu’on étire un corps. Nous l’admettons sans démonstration ; il ne joue plus guère de rôle par la suite.

Une jauge de déformation est un capteur qui se comporte comme une résistance variable. Elle a pour propriétés une longueur, une section et une valeur de résistance ohmique. Les formules ci-dessus portent sur la résistance, qui varie quand la longueur et la section changent.

Avec ce capteur, nous construisons une balance. Nous utilisons pour cela une poutre encastrée d’un côté, de sorte que cette extrémité ne puisse pas bouger. L’extrémité libre de la poutre peut se déplacer quand une force s’exerce sur elle. Si l’on pose quelque chose sur l’extrémité libre, la poutre fléchit sous le poids.

Poutre en flexion avec extrémité encastrée et extrémité libre, qui fléchit vers le bas sous la force F — Loses Ende = extrémité libre · Festes Ende = extrémité fixe

Nous collons une jauge sur la face supérieure et une autre jauge de même géométrie sur la face inférieure de la poutre. Quand la poutre fléchit vers le bas, le capteur supérieur s’allonge et le capteur inférieur se raccourcit à peu près d’autant. Pour cela, les deux extrémités de chaque jauge doivent être collées à la poutre, afin que la partie centrale soit forcée de s’étirer ou de se comprimer.

Poutre fléchie avec jauge de déformation en haut (étirée) et en bas (comprimée)

Une poutre en flexion chargée d’un poids ne fléchit que très peu. Les longueurs des jauges varient elles aussi très peu.

Quand la grandeur physique « poids » augmente, la résistance d’une jauge augmente et celle de l’autre diminue d’autant. Ces capteurs de construction identique se comportent de façon opposée du fait de leur position sur la poutre. Quand la poutre est parfaitement droite, les deux capteurs ont la même résistance, car leur géométrie est alors identique.

\[ \begin{gathered} \text{On pose une masse } m \\[6pt] R_{\mathrm{Oben}} = R_0 + \Delta R \\[6pt] R_{\mathrm{Unten}} = R_0 - \Delta R \\[6pt] R_0\text{ : résistance pour la masse } m = 0 \\[6pt] \Delta R\text{ : variation de résistance proportionnelle à } m \end{gathered} \]

(Oben = en haut, Unten = en bas.) La résistance R₀ de toutes les jauges, poutre droite, correspond à un offset. La variation de longueur de la jauge est extrêmement faible devant sa longueur de base. On a donc R₀ ≫ ΔR. Nous sommes ainsi face au problème d’un très grand offset qui domine un signal de capteur minuscule.

Nous collons deux jauges côte à côte sur la face supérieure et deux sur la face inférieure, car un pont complet nécessite quatre jauges, dont deux doivent se comporter à l’opposé des deux autres. Nous câblons ensuite les résistances en pont, nous nous adossons et admirons l’élégance des mathématiques :

Pont complet de quatre jauges de déformation R_0 ± ΔR avec tension de pont U_S

\[ \begin{gathered} \text{Diviseur gauche : } \varphi_1 = U_0 \cdot \frac{R + \Delta R}{R + \Delta R + R - \Delta R} = U_0 \cdot \frac{R + \Delta R}{2R} \\[6pt] \text{Diviseur droit : } \varphi_2 = U_0 \cdot \frac{R - \Delta R}{R + \Delta R + R - \Delta R} = U_0 \cdot \frac{R - \Delta R}{2R} \\[6pt] U_S = \varphi_1 - \varphi_2 = U_0 \cdot \frac{R + \Delta R}{2R} - U_0 \cdot \frac{R - \Delta R}{2R} = U_0 \cdot \frac{R + \Delta R - (R - \Delta R)}{2R} \\[6pt] U_S = U_0 \cdot \frac{R + \Delta R - R + \Delta R}{2R} = U_0 \cdot \frac{2\Delta R}{2R} = U_0 \cdot \frac{\Delta R}{R} \end{gathered} \]

Sans aucune approximation, on obtient une relation proportionnelle entre la tension de capteur et la variation de résistance. L’offset R₀ disparaît complètement des formules, tant que les quatre résistances ont la même géométrie lorsque la poutre est droite.

Le pont complet est deux fois plus sensible que le demi-pont. On a :

\[ \begin{gathered} \text{Comparaison des solutions :} \\[6pt] \text{Demi-pont : } U_S \approx U_0 \cdot \frac{\Delta R}{2R} \\[6pt] \text{Pont complet : } U_S = U_0 \cdot \frac{\Delta R}{R} \end{gathered} \]

Pour une variation de résistance ΔR, la tension de sortie U_S du pont complet varie deux fois plus que celle d’un demi-pont. Le pont complet est bien meilleur que le demi-pont ; c’est pourquoi on l’utilise dans un très grand nombre de systèmes de mesure. Il faut toutefois des résistances dont certaines augmentent et d’autres diminuent quand la grandeur physique augmente. Dans les applications où ce n’est pas le cas, on se rabat sur des demi-ponts.