Amplificateur différentiel

L’amplificateur différentiel est un montage à AOP à deux tensions d’entrée et une tension de sortie. Son schéma est le suivant :

\[ U_{\mathrm{Aus,OP}} = \frac{R_2}{R_1} \cdot (U_2 - U_1) = v \cdot (U_2 - U_1) \text{ avec } v = \frac{R_2}{R_1} \]

Ce montage forme la différence entre deux tensions d’entrée. La tension sur l’entrée « + » a le signe positif, celle sur l’entrée « − » le signe négatif. Il n’est donc pas indifférent de savoir quelle tension on branche sur quelle entrée. Les tensions ne sont pas reliées directement aux entrées de l’AOP, mais là encore par un réseau de résistances.

La formule de la tension de sortie peut s’interpréter comme le produit d’un gain positif v par la différence de tension. Les deux paires de résistances de même nom ont là encore chacune la même valeur.

J’ai établi la formule de la tension de sortie pour l’amplificateur sommateur. Vous pouvez essayer vous-même d’établir celle de l’amplificateur différentiel avec la même démarche. La solution est déjà donnée pour contrôle.

Indication : déterminez la tension U_R2 à l’aide du diviseur de tension formé de U₂, R₁ et R₂. Faites passer la maille contenant la source U₁ par U_R2.

Reprenons une tension de capteur présentant un offset. L’amplificateur différentiel convient parfaitement pour éliminer l’offset. Nous utilisons de nouveau une tension de décalage, que nous appliquons soit à U₁, soit à U₂. Dans un cas elle agit positivement, dans l’autre négativement sur le signal du capteur.

Le gain de l’amplificateur différentiel est positif, celui de l’amplificateur sommateur négatif. Avec l’amplificateur différentiel, l’opération U₂ − U₁ décale donc le signal entièrement dans le domaine positif, de sorte que la borne inférieure soit à 0 V. On multiplie ensuite par un gain positif.

Reprenons l’exemple de la PT100 sur source de courant.

\[ \begin{gathered} R_{\mathrm{PT100}} = 100\,\Omega + 0{,}4\,\frac{\Omega}{°\mathrm{C}} \cdot T \text{ avec } I_0 = 10\,\mathrm{mA} \rightarrow U_S = [1\,\mathrm{V} \ldots 1{,}4\,\mathrm{V}] \\[6pt] \text{CAN : } U_{\mathrm{Ref}} = 3\,\mathrm{V} \rightarrow U_{\mathrm{Ein,ADC}} = [0\,\mathrm{V} \ldots 3\,\mathrm{V}] \\[6pt] \text{On pose } U_2 = U_S \text{ et } U_1 = U_V = 1\,\mathrm{V} \\[6pt] U_S - U_V = U_2 - U_1 = [1\,\mathrm{V} \ldots 1{,}4\,\mathrm{V}] - 1\,\mathrm{V} = [0\,\mathrm{V} \ldots 0{,}4\,\mathrm{V}] \end{gathered} \]

Tension du capteur U_S entre 1 V et 1,4 V et différence U_S − U_V entre 0 V et 0,4 V

\[ \begin{gathered} U_{\mathrm{Aus,OP}} = v \cdot (U_2 - U_1) \rightarrow v = \frac{U_{\mathrm{Ref}}}{(U_2 - U_1)_{\mathrm{max}}} = \frac{3\,\mathrm{V}}{0{,}4\,\mathrm{V}} = 7{,}5 \\[6pt] v = \frac{R_2}{R_1} \rightarrow \text{p. ex. } R_1 = 1\,\mathrm{k\Omega} \text{ et } R_2 = 7{,}5\,\mathrm{k\Omega} \end{gathered} \]

Simulation

La tension de sortie U_Aus,OP monte de 0 V à 0 °C à 3 V à 100 °C

Le capteur correspond à la source U₂, la tension de décalage à la source U₁. Nous pouvons ainsi travailler avec une tension de décalage positive, soustraite de la tension du capteur. L’avantage de la solution avec amplificateur différentiel est qu’elle ne nécessite pas de tension de décalage négative, difficile à fournir en pratique.

Théorème de superposition

Remarque : cette parenthèse n’est pas au programme de l’examen. Elle traite des questions suivantes :

1. Comment calcule-t-on au juste la tension de sortie d’un montage à plusieurs tensions d’entrée ?

2. Pourquoi l’amplificateur différentiel doit-il avoir un diviseur de tension sur l’entrée non inverseuse (côté source U₂) ?

Pour répondre à ces deux questions, considérons un faux amplificateur différentiel, sans diviseur de tension sur l’entrée non inverseuse (côté source U₂). Les deux questions y trouvent une réponse plus simple. Remarque : ce montage n’est pas utile en pratique ; il ne sert ici qu’à l’explication.

Amplificateur différentiel simplifié : U_1 par R_1 sur l’entrée moins, U_2 directement sur l’entrée plus

Pour calculer des montages à deux sources d’entrée, on applique le théorème de superposition. Il fonctionne ainsi : on pose d’abord la première source U₁ = 0 V et l’on calcule le comportement de la tension de sortie en fonction de l’autre source U₂. Avec U₁ = 0 V, on a un amplificateur non inverseur. Comme U₁ = 0 V, la source U₁ peut être remplacée par un court-circuit. On a :

Superposition, partie 1 : seule U_2 agit, U_1 est court-circuitée (amplificateur non inverseur)

\[ U_{\mathrm{Aus,OP\ Teil\ 1}} = \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right) \cdot U_2 \]

On pose ensuite la seconde source U₂ = 0 V et l’on calcule le comportement de la tension de sortie en fonction de l’autre source U₁. Avec U₂ = 0 V, on a un amplificateur inverseur. La source U₂ peut être remplacée par un court-circuit. On a :

Superposition, partie 2 : seule U_1 agit, entrée plus à la masse (amplificateur inverseur) — Aus = sortie

\[ U_{\mathrm{Aus,OP\ Teil\ 2}} = -\frac{R_2}{R_1} \cdot U_1 \]

On fait ensuite la somme des deux tensions de sortie partielles (Teil = partie). On a :

\[ \begin{gathered} U_{\mathrm{Aus,OP}} = U_{\mathrm{Aus,OP\ Teil\ 1}} + U_{\mathrm{Aus,OP\ Teil\ 2}} \\[6pt] U_{\mathrm{Aus,OP}} = \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right) \cdot U_2 - \frac{R_2}{R_1} \cdot U_1 \\[6pt] U_{\mathrm{Aus,OP}} = U_2 + \frac{R_2}{R_1} \cdot U_2 - \frac{R_2}{R_1} \cdot U_1 \\[6pt] U_{\mathrm{Aus,OP}} = U_2 + \frac{R_2}{R_1} \cdot (U_2 - U_1) \end{gathered} \]

Ce montage forme la différence des deux tensions d’entrée multipliée par un gain. Malheureusement, la formule contient encore une tension U₂ de trop. Le diviseur de tension sur l’entrée non inverseuse du « vrai » amplificateur différentiel élimine ce terme. Reprenons le schéma du « vrai » amplificateur différentiel. Les calculs ci-dessus donnent :

Amplificateur différentiel avec diviseur de tension sur l’entrée plus et tension U_+

\[ U_{\mathrm{Aus,OP}} = \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right) \cdot \boldsymbol{U_+} - \frac{R_2}{R_1} \cdot U_1 \]

La tension sur l’entrée « + », U₊, est amplifiée selon la formule de l’amplificateur non inverseur, exactement comme dans le montage précédent. Seulement, la source U₂ n’y est plus appliquée directement. Entre U₊ et U₂, nos prédécesseurs ont habilement placé un diviseur de tension, avec :

\[ U_+ = \left(\frac{R_2}{R_1 + R_2}\right) \cdot U_2 \]

On a donc à la sortie de l’AOP :

\[ \begin{gathered} U_{\mathrm{Aus,OP}} = \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right) \cdot U_+ - \frac{R_2}{R_1} \cdot U_1 \\[6pt] U_{\mathrm{Aus,OP}} = \left(\frac{R_1}{R_1} + \frac{R_2}{R_1}\right) \cdot U_+ - \frac{R_2}{R_1} \cdot U_1 \\[6pt] U_{\mathrm{Aus,OP}} = \left(\frac{R_1 + R_2}{R_1}\right) \cdot U_+ - \frac{R_2}{R_1} \cdot U_1 \\[6pt] \text{avec } U_+ = \left(\frac{R_2}{R_1 + R_2}\right) \cdot U_2 \\[6pt] U_{\mathrm{Aus,OP}} = \left(\frac{R_1 + R_2}{R_1}\right) \cdot \left(\frac{R_2}{R_1 + R_2}\right) \cdot U_2 - \frac{R_2}{R_1} \cdot U_1 \\[6pt] \text{simplifier } (R_1 + R_2) \text{ dans le terme de gauche} \\[6pt] U_{\mathrm{Aus,OP}} = \frac{R_2}{R_1} \cdot U_2 - \frac{R_2}{R_1} \cdot U_1 = \frac{R_2}{R_1}(U_2 - U_1) \end{gathered} \]

Nous obtenons une formule dans laquelle les tensions d’entrée sont soustraites l’une de l’autre puis amplifiées par un facteur commun. À mes yeux, cette solution est simple et élégante, et donc brillante.