Réseaux d’impédances

Jusqu’ici, vous avez calculé des réseaux en tension et courant continus. Vous avez découvert pour cela des lois et des règles. Elles s’appliquent toutes aussi aux réseaux en tension alternative. Seulement, on y calcule avec des impédances, des tensions et des courants complexes.

Prenons comme exemple le réseau suivant :

\[ \omega = 10\,\mathrm{k}\frac{1}{\mathrm{s}} ;\; u_0(\omega) = 5\,\mathrm{V} ;\; R = 3\,\Omega ;\; C = 33\,\mathrm{\mu F} ;\; L = 150\,\mathrm{\mu H} \]

Réseau : source u0 de courant i0, montage en parallèle de C et R en série avec la bobine L

\[ \begin{gathered} Z_R = 3\,\Omega \\[6pt] Z_L = j\omega L = j10\,\mathrm{k}\frac{1}{\mathrm{s}} \cdot 150\,\mathrm{\mu H} = j\frac{3}{2}\,\Omega \\[6pt] Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{1}{j10\,\mathrm{k}\frac{1}{\mathrm{s}} \cdot 33\,\mathrm{\mu F}} = -j3\,\Omega \end{gathered} \]

Comme pour les réseaux en courant continu, nous pouvons d’abord calculer le courant de la source i₀, puis les tensions et courants des composants. Regroupons d’abord les impédances :

\[ \begin{gathered} \text{Calcul : } Z_{\mathrm{Ges}} = Z_R || Z_C + Z_L \\[6pt] \text{Partie 1 : } Z_R || Z_C = \frac{Z_R \cdot Z_C}{Z_R + Z_C} = \frac{R \cdot \frac{1}{j\omega C}}{R + \frac{1}{j\omega C}} = \frac{3\,\Omega \cdot (-j3\,\Omega)}{3\,\Omega - j3\,\Omega} \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} \text{Variante 1 : conversion des termes en forme exponentielle} \\[4pt] \text{Au dénominateur : } 3\,\Omega - j3\,\Omega = \sqrt{2} \cdot 3\,\Omega \cdot e^{-j\frac{\pi}{4}} \\[4pt] \text{Au numérateur : } 3\,\Omega \cdot (-j3\,\Omega) = 9\,\Omega^2 \cdot e^{-j\frac{\pi}{2}} \\[6pt] Z_R || Z_C = \frac{9\,\Omega^2 \cdot e^{-j\frac{\pi}{2}}}{\sqrt{2} \cdot 3\,\Omega \cdot e^{-j\frac{\pi}{4}}} = \frac{3}{\sqrt{2}}\,\Omega \cdot e^{-j\frac{\pi}{2} - \left(-j\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{3}{\sqrt{2}}\,\Omega \cdot e^{-j\frac{\pi}{4}} = \frac{3}{2}\,\Omega - j\frac{3}{2}\,\Omega \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} \text{Variante 2 : multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué :} \\[4pt] Z_R || Z_C = \frac{3\,\Omega \cdot (-j3\,\Omega)}{3\,\Omega - j3\,\Omega} \text{ (repris de plus haut)} \\[6pt] \frac{3\,\Omega \cdot (-j3\,\Omega)}{(3\,\Omega - j3\,\Omega)} \cdot \frac{(3\,\Omega + j3\,\Omega)}{(3\,\Omega + j3\,\Omega)} = \frac{(-j9\,\Omega^2) \cdot (3\,\Omega + j3\,\Omega)}{(3\,\Omega)^2 + (3\,\Omega)^2} = \frac{-j27\,\Omega^3 + 27\,\Omega^3}{18\,\Omega^2} = \frac{3}{2}\,\Omega - j\frac{3}{2}\,\Omega \end{gathered} \]

\[ Z_{\mathrm{Ges}} = Z_R || Z_C + Z_L = \frac{3}{2}\,\Omega - j\frac{3}{2}\,\Omega + j\frac{3}{2}\,\Omega = \frac{3}{2}\,\Omega \]

Dans le calcul ci-dessus, nous avons dû diviser deux nombres complexes. Je vous ai montré deux méthodes : la conversion en forme exponentielle et la multiplication du numérateur et du dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Dans l’exemple, l’impédance totale est purement réelle, car les parties imaginaires de la bobine et du condensateur se compensent exactement. Ce n’est pas le cas dans tous les exercices, seulement dans cet exemple. Nous calculons ensuite, à partir de l’impédance totale, le courant de la source et tous les courants et tensions du réseau :

\[ \begin{gathered} i_0(\omega) = \frac{u_0(\omega)}{Z_{\mathrm{Ges}}} = \frac{5\,\mathrm{V}}{\frac{3}{2}\,\Omega} = \frac{10}{3}\,\mathrm{A} = 3{,}33\,\mathrm{A} \\[6pt] i_L(\omega) = i_0(\omega) = 3{,}33\,\mathrm{A} \\[6pt] u_L(\omega) = Z_L \cdot i_L(\omega) = j\frac{3}{2}\,\Omega \cdot 3{,}33\,\mathrm{A} = j5\,\mathrm{V} \\[6pt] \text{Équation de maille : } u_0(\omega) = u_{RC}(\omega) + u_L(\omega) \\[6pt] u_{RC}(\omega) = u_R(\omega) = u_C(\omega) = u_0(\omega) - u_L(\omega) = 5\,\mathrm{V} - j5\,\mathrm{V} \\[6pt] \text{Équation du composant : } i_R(\omega) = \frac{u_R(\omega)}{Z_R} = \frac{5\,\mathrm{V} - j5\,\mathrm{V}}{3\,\Omega} = \frac{5 - j5}{3}\,\mathrm{A} = 1{,}67\,\mathrm{A} - j1{,}67\,\mathrm{A} \\[6pt] \text{Équation de nœud : } i_C(\omega) = i_0(\omega) - i_R(\omega) = \frac{10}{3}\,\mathrm{A} - \left(\frac{5 - j5}{3}\,\mathrm{A}\right) = \frac{5 + j5}{3}\,\mathrm{A} = 1{,}67\,\mathrm{A} + j1{,}67\,\mathrm{A} \end{gathered} \]

Simulation

Toutes les tensions et tous les courants des composants du réseau sont ainsi calculés. Vous voyez que la difficulté réside surtout dans le calcul avec les nombres complexes. Une bonne calculatrice peut aujourd’hui s’en charger.