Éléments de stockage dans la boucle

Prenons comme premier exemple un système à comportement P :

Boucle de régulation avec élément P k_P = 1

\[ \begin{gathered} A = k_P = 1 \\[6pt] y = \frac{A}{1 + A} \cdot w = \frac{w}{2} \end{gathered} \]

Considérons d’abord un A ne présentant qu’un comportement P avec k_P = 1. Avec k_P = 1, le système présente un écart e = 0,5 ∙ w. S’il n’y avait pas d’écart, on aurait e = 0 et donc toujours y = 0. Or nous voulons y = w.

Comment l’écart peut-il alors disparaître complètement dès que l’on utilise des éléments de stockage dans la boucle ? Prenons un second exemple, avec un comportement I :

Boucle de régulation avec k_I = 1 et intégrateur 1/s

\[ \begin{gathered} A = k_I \cdot \frac{1}{s} \rightarrow \frac{1}{A} = \frac{s}{k_I} \\[6pt] y = e \cdot A \\[6pt] e = w - y \\[6pt] y = \frac{1}{1 + \frac{1}{A}} \cdot w = \frac{1}{1 + \frac{1}{k_I} \cdot s} \cdot w \end{gathered} \]

La réponse se trouve dans l’équation des éléments de stockage dans le domaine temporel. Avec un A à comportement I pur et k_I = 1, on obtient :

\[ y(t) = y_0 + \int e(t)\,dt \]

La valeur de y(t) dépend donc non seulement de la valeur actuelle de e(t), mais de toute son évolution passée. Le paramètre y₀ contient tout l’historique de l’écart. Il n’est donc pas nécessaire que l’écart e soit toujours non nul ; il suffit qu’il l’ait été à un moment dans le passé. Avec e = 0, l’équation ci-dessus donne en effet

\[ \begin{gathered} y(t) = y_0 + \int e(t)\,dt \xrightarrow[e = 0]{} y_0 \\[6pt] y(t) = y_0 \end{gathered} \]

Un élément de stockage maintient sa sortie y constante quand l’entrée e = 0. Le niveau d’un seau reste constant s’il n’y a pas de débit entrant. Un seau présente donc en sortie y un niveau non nul lorsque l’entrée e = 0. Si l’on veut remplir le seau jusqu’au niveau de consigne y_Soll = « à moitié plein », un débit e y entre jusqu’à ce que y = y_Soll. Ensuite plus rien n’entre (e = 0) et le seau maintient son état constant en sortie.