Électrotechnique BMT & UFC › Calcul simplifié en courant alternatif

Courant alternatif et éléments de stockage

Intégration et dérivation

Pour calculer avec des accumulateurs d’énergie, il faut intégrer ou dériver. Comment faire avec des grandeurs sinusoïdales ? Pour une constante quelconque a, on a :

\[ \begin{gathered} \int \sin(a \cdot t)\,dt = \frac{1}{a} \left[-\cos(a \cdot t)\right] \\[6pt] \frac{d}{dt} \left[\sin(a \cdot t)\right] = a \cdot \cos(a \cdot t) \\[6pt] \text{tension sinusoïdale } u(t) = 5\,\mathrm{V} \cdot \sin(\omega t) \\[6pt] \frac{du(t)}{dt} = \frac{d}{dt} \left[5\,\mathrm{V} \cdot \sin(\omega t)\right] = \omega \cdot 5\,\mathrm{V} \cdot \cos(\omega t) \\[6pt] \int u(t)\,dt = \int \left[5\,\mathrm{V} \cdot \sin(\omega t)\right] dt = \frac{1}{\omega} \cdot 5\,\mathrm{V} \cdot \left[-\cos(\omega t)\right] \end{gathered} \]

En intégrant ou en dérivant, un sinus devient un cosinus et inversement. Ce n’est pas un problème pour nous, car sinus et cosinus ne diffèrent que par un décalage de 90° l’un par rapport à l’autre. On a :

\[ \begin{gathered} \sin(\omega t) = \cos\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right) \\[6pt] \cos(\omega t) = \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) \end{gathered} \]

L’étude de la phase dans un accumulateur mène à des mathématiques très complexes. La réduction aux valeurs de crête se décrit avec des mathématiques simples. C’est pourquoi, pour la filière BMT, seule la valeur de crête est désormais étudiée. Ceux que les mathématiques complexes intéressent consulteront le cours d’électrotechnique pour ETR. Il faut de nombreuses heures pour le lire – mais c’est intéressant.

Si le déphasage nous est indifférent, c’est-à-dire si nous n’étudions que les valeurs de crête, nous pouvons traiter sinus et cosinus presque de la même façon.

\[ \begin{gathered} u_1(t) = 5\,\mathrm{V} \cdot \sin(\omega t) \\[4pt] u_2(t) = 5\,\mathrm{V} \cdot \cos(\omega t) = 5\,\mathrm{V} \cdot \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) \\[4pt] \hat{u}_1 = \hat{u}_2 = 5\,\mathrm{V} \end{gathered} \]

Les valeurs de crête des deux tensions sont égales.

Addition d’un sinus et d’un cosinus

Que se passe-t-il si nous additionnons les deux tensions ? On pourrait s’attendre à une valeur de crête de 10 V en additionnant deux tensions alternatives de 5 V de crête chacune. Le graphique des deux fonctions montre cependant que ce n’est pas si simple. La tension somme u_S se calcule ainsi :

Sinus, cosinus et leur somme en fonction du temps — Zeit = temps · Summe = somme

La tension u₁ est représentée en bleu. Elle est sinusoïdale. La tension cosinusoïdale u₂ est représentée en rouge. La somme des deux tensions u₁ + u₂ est représentée en gris. La valeur de crête de la somme n’est pas les 10 V attendus, mais un peu plus de 7 V. Cela vient du fait que les deux maxima ne se produisent pas en même temps : on n’additionne jamais 5 V + 5 V.

Nous pouvons déduire le calcul du cercle unité. La flèche noire a pour longueur 1. Elle pointe vers la circonférence du cercle de rayon 1. Dans le triangle rectangle formé par les flèches noire, bleue et rouge, nous pouvons calculer avec Pythagore et avec les côtés de l’angle droit.

Vecteur dans le cercle unité : hypoténuse a, côté adjacent b et côté opposé c, soit cos(φ) et sin(φ)

\[ \begin{gathered} a^2 = b^2 + c^2 \\[4pt] b = a \cdot \cos(\varphi) \\[4pt] c = a \cdot \sin(\varphi) \\[4pt] 1^2 = \sin^2(\varphi) + \cos^2(\varphi) \end{gathered} \]

Dans le triangle, sinus et cosinus ne s’additionnent pas simplement ; ils s’additionnent quadratiquement. Nous l’utilisons pour calculer la valeur de crête d’un sinus et d’un cosinus :

\[ \begin{gathered} u_1(t) = 5\,\mathrm{V} \cdot \sin(\omega t) \\[4pt] u_2(t) = 5\,\mathrm{V} \cdot \cos(\omega t) \\[4pt] u_S(t) = u_1(t) + u_2(t) = 5\,\mathrm{V} \cdot \sin(\omega t) + 5\,\mathrm{V} \cdot \cos(\omega t) \\[4pt] \text{Valeurs de crête : } (\hat{u}_S)^2 = (\hat{u}_1)^2 + (\hat{u}_2)^2 \\[6pt] \hat{u}_S = \sqrt{(\hat{u}_1)^2 + (\hat{u}_2)^2} = \sqrt{(5\,\mathrm{V})^2 + (5\,\mathrm{V})^2} = \sqrt{25\,\mathrm{V}^2 + 25\,\mathrm{V}^2} = \sqrt{50}\,\mathrm{V} \approx 7{,}07\,\mathrm{V} \end{gathered} \]

Nous pouvons calculer la valeur de crête, mais pas la phase de la tension somme. Comme le montre encore la figure ci-dessous, la tension somme est décalée par rapport au sinus et au cosinus. Cet angle de décalage ne peut pas être déterminé avec la méthode de calcul simplifiée. On peut maintenant écrire le résultat de la tension somme ainsi :

\[ \begin{gathered} u_S(t) = 7{,}07\,\mathrm{V} \cdot \sin(\omega t + \varphi) \\[6pt] \text{Lu sur le graphique : } \varphi = \frac{\pi}{4} \\[6pt] \rightarrow u_S(t) = 7{,}07\,\mathrm{V} \cdot \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right) \end{gathered} \]

Simulation

Dans ce cours, vous apprenez seulement à calculer les valeurs de crête. Les phases ne sont pas au programme de l’examen. La phase de l’exemple ci-dessus serait différente si les valeurs de crête n’avaient pas été choisies égales par hasard. Nous n’approfondissons pas ce point ici ; sachez seulement que la phase ne vaut pas toujours π/4.

À retenir : pour calculer la valeur de crête de la somme de deux tensions, il faut vérifier si les fonctions sont des sinus ou des cosinus. Si l’on additionne deux tensions sinusoïdales, les valeurs de crête s’additionnent simplement. Si l’on additionne un sinus et un cosinus, les valeurs de crête s’additionnent quadratiquement.

Exemples

\[ \begin{gathered} u_1(t) = 1\,\mathrm{V} \cdot \sin(\omega t) \\[4pt] u_2(t) = 2\,\mathrm{V} \cdot \sin(\omega t) \\[4pt] u_S(t) = u_1(t) + u_2(t) = 3\,\mathrm{V} \cdot \sin(\omega t) \end{gathered} \]

Si l’on additionne 2 fonctions sinus, les valeurs de crête s’additionnent « normalement ».

\[ \begin{gathered} u_3(t) = 1\,\mathrm{V} \cdot \sin(\omega t) \\[4pt] u_4(t) = 2\,\mathrm{V} \cdot \cos(\omega t) \\[4pt] \hat{u}_S = \sqrt{(\hat{u}_3)^2 + (\hat{u}_4)^2} = \sqrt{(1\,\mathrm{V})^2 + (2\,\mathrm{V})^2} = \sqrt{5}\,\mathrm{V} \approx 2{,}24\,\mathrm{V} \\[4pt] u_S(t) = u_3(t) + u_4(t) = 2{,}24\,\mathrm{V} \cdot \sin(\omega t + \varphi) \end{gathered} \]

Simulation

Si l’on additionne un sinus et un cosinus, il faut les additionner « quadratiquement ».