Superposition

Les perturbations et la grandeur de référence agissent comme des entrées sur le système. La grandeur réglée n’est plus influencée seulement par la grandeur de référence, mais aussi par les perturbations. Pour simplifier, nous ramenons le problème à une seule perturbation.

Dans les systèmes à plusieurs grandeurs d’entrée, on utilise le principe de superposition, valable uniquement pour les systèmes linéaires invariants dans le temps. La grandeur de sortie se calcule ainsi :

1. Mettre la perturbation à 0.

2. Calculer, comme résultat intermédiaire 1, la grandeur de sortie due à la grandeur de référence.

3. Mettre la grandeur de référence à 0.

4. Calculer, comme résultat intermédiaire 2, la grandeur de sortie due à la perturbation.

5. Additionner les deux résultats intermédiaires.

On obtient ainsi deux fonctions de transfert. Celle de la grandeur de sortie en fonction de la grandeur de référence est le « comportement en poursuite », que vous connaissez déjà. Celle de la grandeur de sortie en fonction de la perturbation est le « comportement en régulation » (rejet de perturbation ; en allemand Störunterdrückung, SU), qui est nouveau pour vous.

Pour calculer le comportement en poursuite H_FÜ, on met la perturbation à 0 et l’on calcule la grandeur réglée en fonction de la grandeur de référence. Pour calculer le rejet de perturbation H_SU, on met la grandeur de référence à 0 et l’on calcule la grandeur réglée en fonction de la perturbation d. On additionne enfin les deux solutions. En formule :

\[ \begin{gathered} y = H_{\mathrm{FÜ}} \cdot w\,\big|_{d=0} \rightarrow H_{\mathrm{FÜ}} = \frac{y}{w}\Big|_{d=0} \\[6pt] y = H_{\mathrm{SU}} \cdot d\,\big|_{w=0} \rightarrow H_{\mathrm{SU}} = \frac{y}{d}\Big|_{w=0} \\[6pt] y = H_{\mathrm{FÜ}} \cdot w + H_{\mathrm{SU}} \cdot d \end{gathered} \]

La grandeur réglée doit être indépendante de la perturbation. C’est le cas pour H_SU = 0 : quelle que soit l’importance de la perturbation, elle n’a alors aucun effet sur la grandeur réglée.

\[ \begin{gathered} \text{Objectifs de l’automatique :} \\[6pt] H_{\mathrm{FÜ}} = \frac{y}{w}\Big|_{d=0} = 1 \\[6pt] H_{\mathrm{SU}} = \frac{y}{d}\Big|_{w=0} = 0 \\[6pt] \text{Substitution : } y = H_{\mathrm{FÜ}} \cdot w + H_{\mathrm{SU}} \cdot d = 1 \cdot w + 0 \cdot d = w \end{gathered} \]