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Condensateur

Un condensateur est un accumulateur d’énergie électrique. Il stocke l’énergie sous forme de charges séparées. Un lac de retenue tient toujours assez d’eau en réserve pour la centrale hydroélectrique. Le condensateur tient en réserve des charges séparées, qui peuvent de là s’écouler sous forme de courant dans un circuit. Si un récepteur a besoin de beaucoup de puissance pendant un court instant, on peut la prélever dans le condensateur.

Dans un circuit, un condensateur se comporte un peu comme une source. La différence est que la charge prélevée doit aussi être rechargée par le circuit. En fonctionnement, le condensateur peut aussi être entièrement vidé. Il ne peut simplement pas être rempli au-delà de son maximum.

Sous sa forme la plus simple, un condensateur se compose de deux plaques métalliques parallèles qui ne se touchent pas et entre lesquelles se trouve un matériau électriquement isolant (p. ex. de l’air). Lorsque de la charge séparée est stockée dans le condensateur, une plaque porte beaucoup de charges positives et l’autre peu (sens conventionnel du courant). Chaque plaque est reliée à une borne qui relie le condensateur aux autres composants du circuit. Une tension peut être mesurée entre les plaques dès que des charges y sont séparées.

La capacité C d’un condensateur décrit son aptitude à stocker des charges. Comme le volume du seau, elle indique la quantité maximale de charge séparée que peut stocker le condensateur. On a

Condensateur plan avec bornes, surface A, distance d et matériau de remplissage — Anschluss = borne · Fläche = surface · Abstand = distance · Füllmaterial = matériau de remplissage

\[ \begin{gathered} C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \cdot \frac{A}{d} \\[4pt] C\text{ : capacité} \\[2pt] A\text{ : surface d’une face d’une plaque} \\[2pt] d\text{ : distance entre les plaques} \\[2pt] \varepsilon_0 = 8{,}854 \cdot 10^{-12}\,\frac{\mathrm{As}}{\mathrm{Vm}}\text{ : constante physique} \\[2pt] \varepsilon_r\text{ : paramètre du matériau entre les plaques} \end{gathered} \]

Grandeur physique	Symbole	Nom de l’unité	Symbole de l’unité	Symbole graphique
Capacité	\(C\)	Farad	\(1\,\mathrm{F} = \mathrm{s}/\Omega\)

La capacité C s’exprime en farads. Elle est déterminée par la géométrie de la construction et par un paramètre de matériau. Si la surface augmente, la capacité augmente aussi, car davantage de charge trouve place à la surface des plaques. Si la distance d diminue, la capacité augmente également.

Optimisation de la capacité

Remarque : cette section, jusqu’au titre suivant, n’est pas au programme de l’examen.

Un smartphone contient des milliers de condensateurs. Pour que le smartphone tienne dans une poche, tous ses composants doivent être très petits. On a pourtant besoin de condensateurs de grande capacité, par exemple pour fournir brièvement l’énergie nécessaire à l’envoi d’un message.

\[ \begin{gathered} C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \cdot \frac{A}{d} \\[6pt] \text{Petite distance } d \rightarrow \text{grande capacité } C \\[4pt] \text{Grande surface } A \rightarrow \text{grande capacité } C \end{gathered} \]

Il nous faut donc des condensateurs de grande capacité pour une petite surface A. Pour cela, nous rendons la distance d aussi petite que possible. Plus la distance d entre les plaques est petite, plus la tension maximale du condensateur est faible. Rapprochons extrêmement des charges séparées et augmentons sans cesse la tension. Au-delà d’une certaine tension, les charges « claquent » à travers l’isolant entre les plaques, bien que l’isolant ne conduise normalement pas le courant. Elles forment un tunnel conducteur à travers l’isolant. Le condensateur est alors détruit, et le circuit le plus souvent aussi. Nous ne pouvons donc pas rendre la distance d arbitrairement petite.

Dans les condensateurs, nous utilisons un isolant dont le paramètre de matériau ε_r est aussi grand que possible. La tension maximale pour une très petite distance d dépend aussi de l’isolant. Lorsque les médias parlent de matières premières issues de zones de conflit nécessaires à la fabrication des smartphones, ils parlent entre autres de ce matériau de remplissage des condensateurs. Un matériau techniquement bien adapté est par exemple le tantale : son oxyde (pentoxyde de tantale) a un ε_r élevé et peut être réalisé en couche très mince. Nous ne pouvons pas modifier la constante physique ε₀.

La construction des condensateurs permet d’optimiser encore la capacité. Pour cela, on ne superpose pas seulement 2 plaques, mais un très grand nombre de plaques. Un isolant se trouve entre chaque paire de plaques. Une plaque sur deux est reliée aux autres, de façon à former une surface A aussi grande que possible.

Condensateur empilé à nombreuses plaques ; une plaque sur deux est reliée à la même borne

La capacité C détermine la relation entre la charge Q et la tension U selon la formule suivante :

\[ \begin{gathered} Q = C \cdot U \\[4pt] C = \frac{Q}{U} \end{gathered} \]

Il est facile de séparer beaucoup de charge si l’on dispose pour cela de beaucoup de tension. Un « bon » condensateur de grande capacité peut maintenir beaucoup de charge séparée avec peu de tension. C’est particulièrement important dans les systèmes alimentés par pile, qui doivent se contenter de peu de tension. Si l’on prélève une charge Q dans un condensateur, sa tension U baisse, d’autant moins que la capacité C est grande.

Analogie avec le seau d’eau

Remarque : cette section, jusqu’au titre suivant, n’est pas au programme de l’examen.

Reprenons le modèle du seau d’eau du chapitre précédent. Il existe une analogie entre le seau et le condensateur.

Analogie entre seau (arrivée, hauteur h, surface de base A) et condensateur (courant I, tension U, capacité C) — Zulauf = arrivée · Füllhöhe = hauteur de remplissage · Grundfläche = surface de base · Kapazität = capacité

\[ \begin{gathered} \text{Surface de base} \Leftrightarrow \text{capacité} \\[4pt] \text{Arrivée } \dot{v} \Leftrightarrow \text{courant } I \\[4pt] \text{Hauteur } h \Leftrightarrow \text{tension } U \\[4pt] \text{Quantité d’eau } V = A \cdot h \Leftrightarrow Q = C \cdot U \\[4pt] V_{\mathrm{Max}} = A \cdot h_{\mathrm{Max}} \Leftrightarrow Q_{\mathrm{Max}} = C \cdot U_{\mathrm{Max}} \end{gathered} \]

Pour le seau, nous avons défini l’arrivée ou l’écoulement comme grandeur d’entrée. La grandeur de sortie est le niveau h. Pour le condensateur, le courant électrique est la grandeur d’entrée. Il décrit le débit d’arrivée de la charge Q. La grandeur de sortie est la tension U.

La capacité C du condensateur correspond à la surface de base A du seau. Le niveau h correspond à la tension U. La quantité d’eau dans le seau correspond à la charge Q séparée dans le condensateur.

Si l’on prélève de l’eau dans le seau, le niveau h baisse. Si l’on prélève une charge séparée Q dans le condensateur, la tension U baisse. Plus la surface de base A du seau est grande, moins le niveau h baisse quand l’eau s’écoule. Plus la capacité C du condensateur est grande, moins la tension U baisse quand de la charge séparée s’écoule. La quantité d’eau maximale est limitée par le volume du seau V = A ∙ h_Max. La quantité de charge maximale Q_Max est limitée par la capacité C multipliée par la tension maximale U_Max.

L’eau du seau, qui sert de réservoir, doit maintenant entraîner une roue à aubes. Pour cela, le seau reçoit d’abord une arrivée par le haut et un écoulement par le bas :

Réservoir avec arrivée par le haut et écoulement par le bas — Zulauf = arrivée · Ablauf = écoulement

Un tuyau d’alimentation entraîne la roue à aubes. Le problème est que la roue reçoit la plupart du temps plus d’eau qu’elle n’en a besoin. Mais pendant de courts intervalles, il faut beaucoup plus d’eau que l’alimentation n’en fournit.

Alimentation par un tuyau entraînant la roue à aubes (charge)

Solution : une partie de l’eau est dirigée vers le réservoir. En cas de besoin, le réservoir peut fournir de l’eau supplémentaire. Une vanne commande la sortie du réservoir. Celui-ci est rempli avec l’eau excédentaire.

Une partie de l’alimentation remplit le réservoir ; la vanne du réservoir est fermée — Speicher = élément de stockage · geschlossen = fermé · Ventil = vanne · Last = charge

Moins d’eau arrive maintenant en continu à la charge. Le reste est stocké dans le réservoir. Le niveau du réservoir monte continuellement tant que la vanne de sortie est fermée. Si la charge a brièvement besoin de plus d’eau que l’alimentation ne peut en fournir, on ouvre la vanne de sortie.

Vanne ouverte : la charge reçoit en plus de l’eau du réservoir — Speicher = élément de stockage · Last = charge · Ventil = vanne · offen = ouvert

Le réservoir se vide. La charge reçoit brièvement plus de puissance.

Tension négative

L’analogie a ses limites. Le seau ne peut pas être rempli négativement. Moins que vide, c’est impossible. Un condensateur peut en revanche être chargé à une tension négative. Il suffit pour cela de placer l’excès de charge sur la plaque inférieure au lieu de la plaque supérieure.

Considérons un condensateur non chargé. Les deux plaques ont la même charge. Un courant positif entre maintenant par la borne supérieure du condensateur. Le courant circule toujours en boucle. Il ne se perd pas dans un composant ; il ressort donc par le bas du condensateur. La plaque supérieure se charge ainsi et la plaque inférieure se décharge. La tension du condensateur est donc positive. C’est le cas représenté sur la première des trois figures suivantes.

Condensateur avec courant et tension positifs, avec courant et tension négatifs, et avec flèche de courant inversée

Considérons de nouveau un condensateur non chargé. Les deux plaques ont la même charge. Un courant négatif entre maintenant par la borne supérieure du condensateur. Il ressort par le bas. La plaque supérieure se décharge ainsi et la plaque inférieure se charge. La tension du condensateur est donc négative. C’est ce que montre la figure du milieu.

Vous pouvez vous représenter un courant négatif comme un courant positif dans l’autre sens. Retournez donc la flèche de courant de la figure du milieu et prenez un courant positif. C’est le cas de la figure du bas. Elle sert uniquement à illustrer un sens de courant négatif ; elle ne montre pas de relation nouvelle.

Relation entre tension et courant

Le chapitre Calculer avec des réservoirs a montré que le niveau d’un seau est déterminé par l’intégrale de l’arrivée ou de l’écoulement. Pour le seau et le condensateur, on a :

\[ \begin{gathered} \text{Seau :} \\[2pt] h(t_{\mathrm{Ende}}) = \frac{1}{A} \cdot \int_{t_{\mathrm{Start}}}^{t_{\mathrm{Ende}}} \dot{v}(t)\,dt + h_0(t_{\mathrm{Start}}) \\[4pt] \text{Avec } h\text{ : niveau} \\[2pt] A\text{ : surface de base du seau} \\[2pt] \dot{v}\text{ : arrivée d’eau} \\[2pt] h_0(t_{\mathrm{Start}})\text{ : valeur initiale du niveau} \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} \text{Condensateur :} \\[2pt] u(t_{\mathrm{Ende}}) = \frac{1}{C} \cdot \int_{t_{\mathrm{Start}}}^{t_{\mathrm{Ende}}} i(t)\,dt + U_0(t_{\mathrm{Start}}) \end{gathered} \]

Si un courant entre dans le condensateur, la tension augmente. Un courant permet donc de séparer davantage de charge dans le condensateur, et l’énergie du condensateur augmente. Si un courant sort du condensateur, sa tension et son énergie diminuent. Comme le courant est la cause de la tension du condensateur, j’utilise pour la première étude électrique une source de courant qui, avec le courant I_C, modifie la tension U_C du condensateur. Prenons un exemple numérique :

Source de courant IC chargeant le condensateur C, tension UC

Constatons d’abord que le courant est constant dans le temps pendant la charge. Cela simplifie le calcul. La simplification suivante ne vaut que pour des courants constants dans le temps. Si le courant varie pendant la durée d’intégration, il faut calculer la primitive de l’intégrale. À courant constant, on a :

\[ \begin{gathered} \int_{t_{\mathrm{Start}}}^{t_{\mathrm{Ende}}} i(t)\,dt = i \cdot (t_{\mathrm{Ende}} - t_{\mathrm{Start}}) = i \cdot \Delta t = 1\,\mathrm{A} \cdot 1\,\mathrm{ns} = 1\,\mathrm{nAs} \\[6pt] u(t_{\mathrm{Ende}}) = \frac{1}{C} \cdot \int_{t_{\mathrm{Start}}}^{t_{\mathrm{Ende}}} i(t)\,dt + U_0(t_{\mathrm{Start}}) = \frac{1}{C} \cdot i \cdot \Delta t + U_0(t_{\mathrm{Start}}) = \frac{1}{1\,\mathrm{nF}} \cdot 1\,\mathrm{nAs} + 0\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{V} \end{gathered} \]

Évolution du courant de charge iC(t) = 1 A entre 1 ns et 2 ns et de la tension uC(t) qui monte à 1 V

Après le remplissage, la tension du condensateur vaut U_C = 1 V. Si du courant entre de nouveau dans le condensateur ou en sort, la tension varie de nouveau. Faisons donc ensuite sortir du condensateur le courant i = −1 µA pendant Δt = 1 ms. Le changement de sens du courant se traduit mathématiquement par un changement de signe dans la formule. Comme le courant est de nouveau constant pendant la durée d’intégration, on a :

Source de courant IC déchargeant le condensateur C, tension UC

\[ \begin{gathered} u(t_{\mathrm{Ende}}) = \frac{1}{C} \cdot \int_{t_{\mathrm{Start}}}^{t_{\mathrm{Ende}}} i(t)\,dt + U_0(t_{\mathrm{Start}}) \\[4pt] U_0(t_{\mathrm{Start}}) = 1\,\mathrm{V} \text{ (valeur finale du calcul précédent)} \\[4pt] C = 1\,\mathrm{nF} \\[4pt] i(t) = -1\,\mathrm{\mu A} = \text{constante} \\[4pt] t_{\mathrm{Start}} = 1\,\mathrm{ms} \\[4pt] t_{\mathrm{Ende}} = 2\,\mathrm{ms} \\[4pt] \Delta t = t_{\mathrm{Ende}} - t_{\mathrm{Start}} = 1\,\mathrm{ms}\text{ : durée du vidage} \\[6pt] \int_{t_{\mathrm{Start}}}^{t_{\mathrm{Ende}}} i(t)\,dt = i \cdot (t_{\mathrm{Ende}} - t_{\mathrm{Start}}) = i \cdot \Delta t = -1\,\mathrm{\mu A} \cdot 1\,\mathrm{ms} = -1\,\mathrm{nAs} \\[6pt] u(t_{\mathrm{Ende}}) = \frac{1}{C} \cdot \int_{t_{\mathrm{Start}}}^{t_{\mathrm{Ende}}} i(t)\,dt + U_0(t_{\mathrm{Start}}) = \frac{1}{C} \cdot i \cdot \Delta t + U_0(t_{\mathrm{Start}}) = \frac{1}{1\,\mathrm{nF}} \cdot (-1\,\mathrm{nAs}) + 1\,\mathrm{V} = 0\,\mathrm{V} \end{gathered} \]

Évolution du courant de décharge iC(t) = −1 µA entre 1 ms et 2 ms et de la tension uC(t) qui descend de 1 V à 0 V

La fonction réciproque de l’intégrale est la dérivée. Si la tension du condensateur est donnée et que l’on cherche le courant, on transforme l’équation de la tension en dérivant les deux membres :

\[ \begin{gathered} u(t) = \frac{1}{C} \int i(t)\,dt + U_{C0} \\[6pt] \frac{d}{dt} u(t) = \frac{d}{dt} \frac{1}{C} \int i(t)\,dt + \frac{d}{dt} U_{C0} \\[6pt] \frac{du(t)}{dt} = \frac{1}{C} i(t) \\[6pt] i(t) = C \frac{du(t)}{dt} \end{gathered} \]

Puissance et énergie

Pour la puissance, regardons d’abord le modèle hydraulique : la puissance mécanique que l’eau du réservoir fournit à la charge est proportionnelle à la quantité d’eau par unité de temps multipliée par la hauteur de chute sur la roue à aubes. Plus le niveau du réservoir est bas, moins il peut fournir de puissance, car l’eau arrive alors avec moins de pression à la charge. Un bon réservoir a donc une surface de base si grande que la hauteur d’eau ne varie que peu pendant le vidage.

La puissance est définie comme le produit de la tension et du courant. Un condensateur ne reçoit ou ne fournit de puissance que si tension et courant sont présents en même temps. Ce n’est le cas que pendant une charge ou une décharge.

Examinons ensuite l’énergie qu’un condensateur peut stocker. On a

\[ \begin{gathered} W(t) = \int p(t)\,dt = \int u(t) \cdot i(t)\,dt \\[6pt] i(t) = C \frac{du(t)}{dt} \\[6pt] W(t) = \int u(t) \cdot C \cdot \frac{du}{dt}\,dt \\[6pt] W(t) = C \int u(t)\,du = \frac{1}{2} C u(t)^2 \\[6pt] W(t) = \frac{1}{2} C u(t)^2 \end{gathered} \]

L’énergie stockée dans le condensateur dépend donc du carré de la tension U et linéairement de la capacité C. Plus la tension appliquée à un condensateur est élevée, plus il stocke d’énergie.

Pour aller plus loin

Excellente simulation de condensateur (en allemand)