Rejet des perturbations par les éléments de stockage

Considérons d’abord des éléments de stockage dans un système sans perturbation. On a alors :

\[ y = A \cdot e \]

Considérons d’abord un A qui présente uniquement un comportement P avec K_PR = 1. S’il n’y avait pas d’écart de réglage, on aurait e = 0 et donc toujours y = 0. Or nous voulons que y = w. Comment l’écart de réglage peut-il alors disparaître complètement, intuitivement, dès que nous utilisons un élément de stockage dans A ? La réponse se trouve dans l’équation des éléments de stockage dans le domaine temporel. Si nous utilisons un A au comportement I pur avec K_I = 1, nous obtenons :

\[ y(t) = y_0 + \int e(t)\,dt \]

La valeur de y(t) ne dépend donc pas seulement de la valeur actuelle de e(t), mais de toute son évolution passée. Le paramètre y₀ contient l’historique complet de l’écart de réglage au cours du temps. Il n’est donc pas nécessaire que l’écart de réglage e soit toujours différent de 0 ; il suffit qu’il ait été différent de 0 à un moment dans le passé. Avec e = 0, l’équation ci-dessus donne en effet

\[ \begin{gathered} y(t) = y_0 + \int e(t)\,dt \xrightarrow[e = 0]{} y_0 \\[6pt] y(t) = y_0 \end{gathered} \]

Un élément de stockage maintient sa sortie y constante lorsque l’entrée e = 0. Le niveau d’eau d’un seau reste constant lorsqu’il n’y a pas d’arrivée d’eau. Un seau présente donc en sortie y un niveau différent de 0 alors que l’entrée e = 0. Si le seau doit être rempli jusqu’au niveau de consigne y_Soll (consigne) = « à moitié plein », une arrivée e s’y déverse jusqu’à ce que y = y_Soll. Ensuite, plus rien n’entre (e = 0) et le seau maintient constant l’état de sa sortie. Dans le modèle, nous considérons un seau comme un système avec K_IS = 1/A (surface A) et un régulateur P avec K_PR = 1 :

Régulation de niveau avec régulateur K_PR = 1, système K_IS = 1/A et intégrateur 1/s

\[ \begin{gathered} h(t) = \frac{1}{A} \int \dot{v}_{\mathrm{Zu}}(t)\,dt + h_0 \text{ avec } \dot{v}_{\mathrm{Zu}} = K_{PR} \cdot e \\[6pt] y(t) = \frac{K_{PR}}{A} \int e(t)\,dt + h_0 \end{gathered} \]

(Indice Zu : arrivée, Ab : écoulement.)

Considérons maintenant un seau avec un écoulement qui agit comme perturbation d. Lorsque de l’eau s’écoule du seau, le niveau y baisse. Pour compenser, il faut une arrivée e exactement aussi grande que d. Il faut pour cela que e = d ≠ 0, et nous avons de nouveau un écart de réglage e. Chaque fois que nous avons besoin d’un écart de réglage e pour compenser une perturbation d, nous n’atteignons plus l’objectif y = w. L’élément de stockage dans A n’aide pas à obtenir e = 0 lorsque la perturbation est intégrée avec l’écart de réglage, c’est-à-dire lorsque la perturbation agit à gauche de l’intégrale dans le schéma fonctionnel.

Considérons la formule du niveau en fonction de l’arrivée et de l’écoulement :

Régulation de niveau avec perturbation d (écoulement) avant le système — Ab = écoulement · Zu = arrivée

\[ \begin{gathered} h(t) = \frac{1}{A} \int \bigl(\dot{v}_{\mathrm{Zu}}(t) - \dot{v}_{\mathrm{Ab}}(t)\bigr)\,dt + h_0 \\[6pt] y(t) = \frac{1}{A} \int \bigl(e(t) - d(t)\bigr)\,dt + h_0 \end{gathered} \]

La formule ne conduit à une valeur constante y(t) = y₀ que si e(t) = d(t). Dès que la perturbation n’agit plus (d = 0), le problème disparaît, car on a alors de nouveau e = 0.