Nombres complexes
Vous connaissez les nombres entiers. Ce sont des nombres sans virgule, comme −6, 0, 120 ou 1000. C’est avec eux que l’on calcule à l’école primaire. Il y a ensuite les nombres réels. Ils remplissent les intervalles. Exemples de nombres réels : 0,175, 3,5 ou √2. Les nombres réels peuvent être positifs ou négatifs. Ils sont rangés sur une droite numérique. Plus on va vers la droite sur cette droite, plus les nombres sont grands.
Avec deux droites de nombres réels, on peut engendrer un plan. Nous appelons une direction x et l’autre y. C’est le plan dans lequel vous avez découvert le calcul vectoriel. Vous y avez simplement placé deux nombres réels orthogonalement l’un à l’autre. Avec deux nombres – la composante x et la composante y – vous décrivez la position d’un point dans le plan.
Les nombres complexes étendent les nombres réels de façon très semblable au plan x-y. Un nombre complexe se compose de deux nombres, comme les coordonnées d’un point du plan. Seulement, nous n’appelons pas les directions x et y, mais axe réel et axe imaginaire. Les deux axes sont des droites de nombres réels allant de −∞ à +∞, avec 0 au milieu. Le nombre sur l’axe imaginaire reçoit toutefois un préfixe : le i ou le j.
La signification de « j »
Les mathématiciens définissent i comme la racine carrée de −1. À l’école, vous avez appris qu’aucune racine carrée n’est définie pour les nombres négatifs. C’est tout aussi faux que d’affirmer qu’il n’existe que des nombres entiers. Pour les valeurs intermédiaires, nous avions défini les nombres réels. Les mathématiciens définissent le nombre i comme racine carrée de −1. On peut exprimer la racine carrée d’autres nombres négatifs à l’aide de i.
Les nombres complexes se composent d’un nombre réel et d’un nombre imaginaire. Exemple : le nombre complexe Z = 3 + i2.
En électrotechnique, nous utilisons les nombres complexes pour de très nombreuses applications. Chez nous, la lettre « i » des mathématiciens est déjà prise par le courant. C’est pourquoi l’électrotechnique utilise toujours la lettre « j » au lieu de « i » pour la racine carrée de −1. En électrotechnique, un nombre complexe s’écrit donc : Z = 3 + j2.
La partie réelle d’un nombre complexe est la valeur sur l’axe réel. Pour le nombre Z = 3 + j2, la valeur 3 est la partie réelle. C’est le nombre sans j. La partie imaginaire est la valeur sur l’axe imaginaire. Dans l’exemple Z = 3 + j2, 2 est la partie imaginaire. Nous écrivons la partie imaginaire comme un nombre réel, donc sans le j. Le j est sous-entendu pour le nombre imaginaire. Il appartient à l’axe, pas au nombre.
Le plan complexe
Les nombres complexes sont représentés graphiquement dans le plan complexe. L’axe réel pointe dans la direction de l’axe x du calcul vectoriel. L’axe imaginaire pointe dans la direction de l’axe y. Les nombres complexes sont des points du plan complexe. Voici quelques exemples :
Un nombre purement réel est un cas particulier de nombre complexe de partie imaginaire nulle (orange). Un nombre purement imaginaire a une partie réelle nulle (rouge). Par convention, on écrit d’abord la partie réelle, puis la partie imaginaire.