Électrotechnique BMT & UFC › Charge d’un élément de stockage

Condensateur dans un circuit

L’effet d’un condensateur utilisé comme accumulateur va être illustré par un exemple. Vous pouvez monter le circuit correspondant lors d’une manipulation facultative en travaux pratiques. Les paramètres du circuit ne sont pas tout à fait réalistes, car ils doivent être réalisés avec les composants disponibles en TP. Cette partie du tutoriel est facultative ; vous n’avez pas besoin de la comprendre entièrement pour l’examen.

Un circuit alimenté par batterie doit mesurer une température en continu et envoyer la valeur mesurée une fois par seconde à un smartphone via un module radio. Une application sur le smartphone affiche la température. Pour ce circuit, nous avons besoin d’une batterie, d’un thermomètre électronique et d’un module radio. Ces composants sont d’abord modélisés.

Modélisation

Comme batterie, nous utilisons un accumulateur modélisé par une source de tension réelle. Il présente une tension à vide U_i = 5 V et une résistance interne R_i = 50 Ω. Ce ne sont pas des valeurs réalistes pour un accumulateur, mais elles montrent bien le comportement d’une source de tension réelle. Le schéma suivant montre la modélisation de l’accumulateur :

Accumulateur comme source de tension réelle avec Ui = 5 V et Ri = 50 Ω

Sous une tension de service de 5 V, le thermomètre électronique consomme un courant de 5 mA. Il est modélisé par une résistance. Cela signifie que, pour le calcul et la modélisation, la relation entre la tension et le courant du thermomètre est calculée avec la loi d’Ohm. Ce n’est pas une résistance ; il possède une valeur de résistance comme propriété.

\[ R_T = \frac{5\,\mathrm{V}}{5\,\mathrm{mA}} = 1\,\mathrm{k\Omega} \]

Accumulateur avec thermomètre comme charge RT

Le thermomètre est branché directement sur les bornes de la batterie réelle. Il est donc en série avec la résistance interne de l’accumulateur.

Pour une transmission d’une durée de 1 ms sous 5 V, le module radio consomme un courant de 100 mA. Nous modélisons aussi le module radio par une résistance.

\[ R_F = \frac{5\,\mathrm{V}}{100\,\mathrm{mA}} = 50\,\Omega \]

Accumulateur avec thermomètre RT et module radio RF commutable

Le module radio n’est pas actif en permanence ; il n’est mis en marche qu’une fois par seconde pendant 1 ms. Nous plaçons donc le module radio derrière un interrupteur S. Il est branché en parallèle avec le thermomètre, afin de recevoir la même tension de 5 V directement de l’accumulateur. Le module radio et le thermomètre ont tous deux besoin d’une tension minimale de 4 V pour fonctionner.

Calcul

Chaque fois que l’interrupteur S est ouvert, on a un diviseur de tension formé de R_i et R_T. La tension aux bornes de R_T vaut alors :

\[ U_T = U_i \cdot \frac{R_T}{R_T + R_i} = 5\,\mathrm{V} \cdot \frac{1\,\mathrm{k\Omega}}{1\,\mathrm{k\Omega} + 50\,\Omega} = 4{,}76\,\mathrm{V} \]

Simulation

La tension aux bornes du thermomètre est un peu plus faible que la tension interne de la source de tension réelle, car du courant sort de la source. Moins le courant est important, plus la tension de sortie de l’accumulateur est élevée.

Chaque fois que l’interrupteur S est fermé, on a un montage en parallèle de R_T et R_F. Nous le calculons ainsi :

\[ R_{TF} = R_T \,||\, R_F = \frac{R_T \cdot R_F}{R_T + R_F} = 47{,}6\,\Omega \approx 50\,\Omega \]

Dans un montage en parallèle, la plus petite des résistances détermine la résistance totale. La tension aux bornes du module radio se calcule alors avec le diviseur de tension

\[ U_T = U_i \cdot \frac{R_{TF}}{R_{TF} + R_i} = 5\,\mathrm{V} \cdot \frac{50\,\Omega}{50\,\Omega + 50\,\Omega} = 2{,}5\,\mathrm{V} \]

Cette tension est beaucoup trop faible ; ni le module radio ni le thermomètre électronique ne peuvent fonctionner avec une tension d’alimentation aussi basse. Le module radio tire tant de courant de la batterie que la tension de sortie s’effondre. Cela arrive à toute source réelle au-delà d’un certain courant.

Le besoin en courant de principe et le courant disponible sont représentés en fonction du temps sur le graphique suivant :

Besoin en courant du module radio et courant maximal de l’accumulateur en fonction du temps — Strombedarf = besoin en courant · Funkmodul = module radio · Strom = courant · Akkus = accumulateurs

Dans cette application, un condensateur utilisé comme réservoir de charges est utile. Le condensateur fournit brièvement de la charge séparée au module radio. Il est rechargé lentement en permanence. Il est placé de façon à être toujours chargé et à se décharger lorsque l’interrupteur est fermé. Nous complétons le circuit ainsi :

Circuit avec condensateur tampon C en parallèle avec le module radio

Simulation

Dimensionnement du condensateur

Pour dimensionner le condensateur, nous examinons le cas de la décharge. Interrupteur ouvert, le condensateur est chargé à environ 5 V (plus précisément 4,76 V). Nous estimons la valeur avec des nombres arrondis. Il ne doit pas se décharger en dessous de 4 V. La tension du condensateur ne doit donc baisser que de ΔU = 1 V au maximum pendant que le module radio transmet la température. Le courant fourni par le condensateur vaut I = 100 mA et circule pendant t = 1 ms.

Nous faisons comme si le courant dans le module radio était constant pendant la durée où l’interrupteur est fermé. C’est aussi la durée sur laquelle nous intégrons pendant la décharge. Cette hypothèse n’est toutefois juste que si la tension du module radio est elle aussi constante. Or le module radio est modélisé par une résistance.

Cette hypothèse est donc en réalité fausse. Nous l’utilisons quand même, sinon il faudrait calculer la primitive de l’intégrale. Comme nous voulons l’éviter, nous supposons le courant constant et commettons ainsi sciemment une erreur. À la fin, nous vérifions la gravité de cette erreur. J’y reviens tout à la fin du chapitre.

Pour le condensateur à courant constant, on a :

\[ \begin{gathered} u_C(t) = U_{C0} + \frac{1}{C} \int_{0\,\mathrm{ms}}^{1\,\mathrm{ms}} i_C(t)\,dt \\[6pt] u_C(1\,\mathrm{ms}) = U_{C0} - \frac{1}{C} \cdot i_C \cdot \Delta t = U_{C0} - \Delta U \\[6pt] \Delta t = 1\,\mathrm{ms} \\[4pt] U_{C0} = 5\,\mathrm{V} \\[4pt] u_C \text{ ne doit baisser que de } \Delta U = 1\,\mathrm{V} \text{ au maximum} \\[6pt] \Delta U = \frac{i_C \cdot \Delta t}{C} = 1\,\mathrm{V} \\[6pt] C = \frac{i \cdot \Delta t}{\Delta U} = \frac{100\,\mathrm{mA} \cdot 1\,\mathrm{ms}}{1\,\mathrm{V}} = 100\,\text{µF} \end{gathered} \]

Les deux récepteurs ont besoin d’au moins 4 V. La variation de tension du condensateur ne doit donc pas dépasser ΔU = 5 V – 4 V = 1 V. À la dernière ligne, l’équation entre tension et courant a été résolue par rapport à la capacité C. Un condensateur de C = 100 µF devrait suffire pour que la tension à la sortie de l’accumulateur reste supérieure à 4 V lorsque l’interrupteur est fermé.

Il faut ensuite laisser l’interrupteur ouvert assez longtemps pour que le condensateur se recharge suffisamment. Si le temps de recharge est trop court, U_C0 est trop faible et l’équation ci-dessus ne s’applique plus. La tension aux bornes des deux charges ne suffit alors plus lorsque l’interrupteur est fermé.

Évolution de la tension de charge

La tension aux bornes des deux récepteurs U_T = U_F est représentée en fonction du temps sur la figure suivante. La ligne rouge indique quand l’interrupteur S est ouvert ou fermé (axe Y de droite). À t = 10 ms, l’interrupteur S se ferme pendant 1 ms. La tension aux bornes de la charge est représentée en bleu et en vert. La tension est graduée sur l’axe Y de gauche.

Tension uF(t) avec et sans condensateur lors d’une brève fermeture de l’interrupteur S — Mit Kondensator = avec condensateur · Ohne Kondensator = sans condensateur · Zustand = état · Schalter = interrupteur · geschlossen = fermé · offen = ouvert

Tant que l’interrupteur S est ouvert, la tension aux bornes de la charge vaut 4,76 V, soit un peu moins de 5 V. Lorsque l’interrupteur est fermé, la tension aux bornes de la charge chute, sans condensateur, à la moitié de la tension, soit 2,38 V (env. 2,5 V). Avec un condensateur, la tension ne descend qu’à environ 4 V. En contrepartie, le condensateur doit ensuite être rechargé. Tout à droite de la figure, vous voyez que 10 ms ne suffisent pas tout à fait.

La décharge et la charge du condensateur se font chacune à travers une résistance : la décharge à travers R_F, la charge à travers R_i. Dans les deux cas, la tension varie selon une fonction exponentielle.

\[ \begin{gathered} R_i = R_F = 50\,\Omega \\[4pt] C = 100\,\text{µF} \\[4pt] \tau_{\mathrm{Laden}} = R_i \cdot C = 5\,\mathrm{ms} \\[4pt] \tau_{\mathrm{Entladen}} = R_F \cdot C = 5\,\mathrm{ms} \end{gathered} \]

Lors de la recharge (« Laden »), la tension du condensateur atteint 63 % de sa valeur finale après τ = 5 ms. Comme le condensateur est chargé de 4 V à 5 V, la tension 5 ms après l’ouverture de l’interrupteur vaut

\[ \begin{gathered} \text{Instant d’ouverture de l’interrupteur : } t = 11\,\mathrm{ms} \\[4pt] \tau_{\mathrm{Laden}} = R_i \cdot C = 5\,\mathrm{ms} \\[4pt] \tau_{\mathrm{Laden}} \text{ plus tard : } t = 11\,\mathrm{ms} + 5\,\mathrm{ms} = 16\,\mathrm{ms} \\[4pt] u_C(16\,\mathrm{ms}) = u_C(11\,\mathrm{ms}) + 63\,\% \cdot \Delta U = 4\,\mathrm{V} + 0{,}63 \cdot 1\,\mathrm{V} = 4{,}63\,\mathrm{V} \end{gathered} \]

Au bout de 5 ∙ τ = 25 ms, le condensateur est rechargé à 99 % de sa valeur maximale. Une nouvelle décharge peut alors commencer. Comme le module radio n’émet qu’une fois par seconde, on est sûr que le condensateur est chaque fois complètement chargé.

Examinons la décharge (« Entladen »). Le module radio décharge le condensateur de 4,76 V vers 2,38 V. Pourquoi ? Une fois la charge ou la décharge terminée, plus aucun courant ne circule dans le condensateur. Si aucun courant ne sort du condensateur, il n’agit pas dans le circuit. On obtient la tension et le courant d’un circuit après une charge ou une décharge entièrement terminée en retirant mentalement le condensateur du circuit. À la fin de la décharge, la tension aux bornes de la charge tombe donc à la valeur vers laquelle tombe la courbe de tension bleu clair.

Cela prend environ t = 5 ∙ τ = 25 ms. Il serait alors déchargé à 99 % de l’écart. Mais la décharge est interrompue dès 1 ms, c’est pourquoi la tension ne descend pas jusqu’à 2,38 V.

Pour mieux comprendre la décharge, nous ne l’interrompons pas après 1 ms. À l’instant t = 15 ms, sur la figure ci-dessous, la tension du condensateur a baissé de 63 %.

\[ \begin{gathered} \text{Décharge :} \\[4pt] u_C(10\,\mathrm{ms}) = 4{,}76\,\mathrm{V} \\[4pt] \tau_{\mathrm{Entladen}} = R_F \cdot C = 5\,\mathrm{ms} \\[4pt] \text{Décharge : } \Delta U = 4{,}76\,\mathrm{V} - 2{,}38\,\mathrm{V} = 2{,}38\,\mathrm{V} \\[4pt] u_C(15\,\mathrm{ms}) = u_C(10\,\mathrm{ms}) - 0{,}63 \cdot \Delta U = 4{,}76\,\mathrm{V} - 1{,}5\,\mathrm{V} = 3{,}26\,\mathrm{V} \end{gathered} \]

Tension uF(t) pendant la décharge avec et sans condensateur — Entladen = décharge · Mit Kondensator = avec condensateur · Ohne Kondensator = sans condensateur · geschlossen = fermé · offen = ouvert

La difficulté consiste à reconnaître de quelle valeur initiale à quelle valeur finale la tension évolue. Les 63 % se rapportent toujours à l’écart de tension ΔU entre la valeur initiale et la valeur finale. On peut facilement se tromper dans les signes. Ce n’est pas grave, car vous savez si la tension monte ou descend. Vous pouvez corriger les signes du calcul à la fin (y compris à l’examen) si vous les avez mal posés dans les formules.

La décharge du deuxième graphique ne se produit pas en pratique, car la décharge est toujours interrompue après 1 ms. La température a alors déjà été envoyée au smartphone. Le deuxième graphique sert uniquement à illustrer la décharge.

Pour calculer la taille du condensateur, nous avons supposé que le courant de décharge était constant pendant la décharge. Il ne l’est pas, car la tension aux bornes de la résistance de charge baisse dans le temps (courbe verte). Avec cette hypothèse fausse, nous avons dimensionné la capacité à C = 100 µF. Les courbes ci-dessus ont été simulées avec cette capacité. La simulation résout les équations différentielles et fournit le résultat mathématiquement exact. Notre approximation était donc manifestement correcte, car la tension aux bornes des récepteurs reste supérieure à 4 V lorsque l’interrupteur est fermé pendant 1 ms.