Filtres électriques

Ce chapitre est de nouveau au programme de l’examen. Des références au chapitre précédent peuvent apparaître. On y établit mathématiquement le fonctionnement des filtres.

Nous pouvons reproduire le modèle hydraulique avec des composants électriques. Il se compose alors d’une source de tension idéale (source), d’une résistance (tuyau) et d’un condensateur (seau). La source de tension est une source alternative ; c’est elle qui produit le signal à filtrer. Les composants sont montés en série. Nous montrons d’abord que ce montage en série a un effet de filtrage, c’est-à-dire un comportement dépendant de la fréquence.

La grandeur d’entrée du filtre est la tension de source u₀, la grandeur de sortie la tension aux bornes du condensateur u_C. Nous pouvons de nouveau définir une fonction de transfert H. Nous considérons les filtres uniquement dans le domaine fréquentiel, jamais dans le domaine temporel. Pour la sortie du montage de filtrage, il nous faut la tension aux bornes du condensateur.

Important : dans le chapitre sur les filtres, on travaille à la fois avec des impédances complexes (ETR) et avec des réactances (BMT et UFC). Les étudiants de UFC et BMT n’ont pas vu les impédances complexes en électrotechnique. Les textes sont séparés selon les mathématiques utilisées : le calcul complexe en alternatif (ETR) figure dans l’encadré rouge, le calcul simplifié avec les réactances (BMT et UFC) dans l’encadré bleu. Vous n’avez à lire que le texte qui vous est destiné.

H avec des impédances

Nous n’avons pas besoin d’une source de tension idéale à l’entrée, seulement d’une tension d’entrée. La définition du filtre est ainsi plus générale. Le condensateur et la résistance forment un diviseur de tension à impédances complexes.

\[ \begin{gathered} \text{Diviseur de tension : } \underline{u}_{\mathrm{Aus}} = \underline{u}_{\mathrm{Ein}} \cdot \frac{\underline{Z}_C}{\underline{Z}_C + \underline{Z}_R} \\[6pt] \underline{H} = \frac{\underline{u}_{\mathrm{Aus}}}{\underline{u}_{\mathrm{Ein}}} = \frac{\underline{Z}_C}{\underline{Z}_C + \underline{Z}_R} = \frac{\frac{1}{j\omega C}}{R + \frac{1}{j\omega C}} = \frac{1}{1 + j\omega RC} = \frac{1}{1 + j2\pi f \cdot RC} \end{gathered} \]

Pour la deuxième transformation, j’ai multiplié le numérateur et le dénominateur de la fraction par jωC. Comme le facteur ω figure dans l’équation, le comportement du filtre dépend manifestement de la fréquence ω = 2πf.

Seul le module de la fonction de transfert nous intéresse. La phase n’indique qu’un décalage temporel entre signal de sortie et signal d’entrée. Le module agit sur la valeur de crête : il amplifie ou atténue les signaux. Pour le module, on additionne les carrés de la partie réelle et de la partie imaginaire :

\[ \begin{gathered} \underline{H} = \frac{\underline{u}_{\mathrm{Aus}}}{\underline{u}_{\mathrm{Ein}}} \\[6pt] \text{Valeurs de crête : } |\underline{H}| = \frac{\hat{u}_{\mathrm{Aus}}}{\hat{u}_{\mathrm{Ein}}} \\[6pt] |\underline{H}| = \left|\frac{1}{1 + j\omega RC}\right| = \frac{1}{\sqrt{1^2 + (\omega RC)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}} \\[6pt] \hat{u}_{\mathrm{Aus}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}} \cdot \hat{u}_{\mathrm{Ein}} \end{gathered} \]

Le module de la fonction de transfert indique comment varie la valeur de crête de la tension de sortie lorsqu’on applique une tension d’entrée sinusoïdale. Quand la fréquence est élevée, le dénominateur augmente et la valeur de crête de la tension de sortie diminue. À basse fréquence, le dénominateur est petit et la tension de sortie plus grande.

L’utilisation du module présente un avantage : il n’y a plus de nombres complexes. Le module nous permet de récupérer les étudiants de BMT, qui doivent se passer des nombres complexes. Les étudiants d’ETR sautent la partie suivante et reprennent à Découpage en domaines.

H avec des réactances

Nous n’avons pas besoin d’une source de tension idéale à l’entrée, seulement d’une tension d’entrée. La définition du filtre est ainsi plus générale. Le condensateur et la résistance forment un diviseur de tension avec des réactances. Rappelez-vous : les réactances de la résistance et du condensateur s’additionnent quadratiquement. Les réactances permettent de calculer comment varie la valeur de crête d’une tension sinusoïdale.

\[ \begin{gathered} \text{Diviseur de tension (modules) : } \hat{u}_{\mathrm{Aus}} = \hat{u}_{\mathrm{Ein}} \cdot \frac{X_C}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} \\[6pt] H = \frac{\hat{u}_{\mathrm{Aus}}}{\hat{u}_{\mathrm{Ein}}} = \frac{X_C}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} = \frac{\frac{1}{\omega C}}{\sqrt{R^2 + \left(\frac{1}{\omega C}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1^2 + (\omega RC)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (2\pi f \cdot RC)^2}} \end{gathered} \]

Pour la deuxième transformation, j’ai multiplié le numérateur et le dénominateur de la fraction par ωC. Comme le facteur ω figure dans l’équation, le comportement du filtre dépend manifestement de la fréquence ω = 2πf.

La fonction de transfert agit sur la valeur de crête : elle amplifie ou atténue les signaux. Pour pouvoir continuer de façon compatible avec les étudiants d’ETR, nous utilisons désormais le module de la fonction de transfert. Pour vous, il est identique à la fonction de transfert elle-même ; dans le calcul complexe, le module est nécessaire pour que tout soit mathématiquement correct. Nous n’utilisons plus non plus les valeurs de crête des tensions, mais les tensions en général. Habituez-vous simplement à cette nouvelle notation, qui n’est plus exactement celle de l’électrotechnique :

\[ \begin{gathered} \hat{u}_{\mathrm{Aus}} = H \cdot \hat{u}_{\mathrm{Ein}} \rightarrow u_{\mathrm{Aus}} = |H| \cdot u_{\mathrm{Ein}} \\[6pt] |H| = \frac{u_{\mathrm{Aus}}}{u_{\mathrm{Ein}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}} \\[6pt] \hat{u}_{\mathrm{Aus}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}} \cdot \hat{u}_{\mathrm{Ein}} \end{gathered} \]

Le module de la fonction de transfert indique comment varie la valeur de crête de la tension de sortie lorsqu’on applique une tension d’entrée sinusoïdale. Quand la fréquence est élevée, le dénominateur augmente et la valeur de crête de la tension de sortie diminue. À basse fréquence, le dénominateur est petit et la tension de sortie plus grande.

Découpage en domaines

À partir d’ici, on continue ensemble pour toutes les filières, quelles que soient les mathématiques choisies. On distingue deux domaines dans la formule :

Domaine 1 : pour les très basses fréquences, on a 1 ≫ ωRC au dénominateur. Si ω, à droite dans l’équation, est assez petit, le 1 est bien plus grand. Le terme ωRC peut donc être négligé devant 1. Pour les très basses fréquences, nous l’omettons donc de la formule. La fraction devient :

On a alors u_Aus = u_Ein. Les signaux de très basse fréquence traversent donc le filtre sans modification.

Domaine 2 : dans l’autre cas, nous considérons les très hautes fréquences, avec 1 ≪ ωRC au dénominateur. Si ω est choisi assez grand, le 1 est bien plus petit que le terme de droite. Cette fois, nous négligeons le 1 et l’omettons. La fonction de transfert se simplifie en

La fonction de transfert diminue quand la pulsation ω augmente. À tension d’entrée constante, la tension de sortie diminue donc en 1/ω. Cela correspond au comportement f(x) = 1/x des mathématiques scolaires. Le signal de sortie est déphasé de −90° (facteur −j). Dans le temps, il est décalé vers la droite par rapport au signal d’entrée. Cela concorde avec le raisonnement du modèle hydraulique.

Fréquence de coupure

Au point ωRC = 1, le comportement change. Nous appelons fréquence de coupure ω_g la fréquence pour laquelle cette équation est satisfaite. On a

On obtient la fonction de transfert à la fréquence de coupure en insérant la pulsation de coupure dans la formule de la fonction de transfert :

Comment le filtre agit-il à la fréquence de coupure ? Faisons traverser le filtre par un signal de test dont la fréquence est égale à la fréquence de coupure. À la fréquence de coupure, le filtre réduit la valeur de crête du signal de test d’un facteur d’environ 0,7. Le filtre agit donc déjà sur le signal d’entrée à la fréquence de coupure.

La fréquence de coupure sépare le domaine 1 du domaine 2. Les signaux de fréquence bien inférieure à la fréquence de coupure traversent le filtre presque sans modification ; ils sont dans le domaine 1. Si la fréquence d’un signal est bien supérieure à la fréquence de coupure, il est dans le domaine 2. Autour de la fréquence de coupure, le signal est déjà légèrement modifié par le filtre. Cette zone est mathématiquement peu commode.

Le module de la fonction de transfert |H(ω)| présente l’allure suivante en fonction de ω, pour une fréquence de coupure ω_g = 30 1/s :

Comment la figure ci-dessus a-t-elle été obtenue ? Nous calculons le module de la fonction de transfert |u_Aus / u_Ein| pour de nombreuses valeurs de ω, puis nous les reportons sur le diagramme avec ω en abscisse. Chaque valeur de la fonction de transfert vaut pour une fréquence de signal.

On peut lire sur la figure ci-dessus la fréquence de coupure du filtre. À la fréquence de coupure, le module de la fonction de transfert vaut |H(ω_g)| = 0,7.

La fréquence de coupure d’un système est fixée par les valeurs de R et C du montage. Nous pouvons donc choisir, par les valeurs des composants du filtre, où se situe la fréquence de coupure. Sur la figure ci-dessus, je l’ai fixée arbitrairement à ω_g = 30 1/s. Vous pouvez choisir d’autres valeurs en modifiant R et/ou C. De façon générale, nous décrivons les filtres sous la forme suivante :