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Tension alternative

La tension alternative u(t) d’une prise de courant peut être décrite avec les mathématiques du sinus du chapitre précédent. À l’étape suivante, la formule en nombres b(t) est transposée à une tension u(t) avec unités. Pour cela, on multiplie l’équation par une tension.

\[ \begin{gathered} b(t) = \sin\left(\frac{2\pi}{T} \cdot t\right) \text{ de domaine de valeurs } b(t) = [-1 \ldots 1] \\[6pt] \text{En général : } u(t) = \hat{u} \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{T} \cdot t\right) \text{ de domaine de valeurs } [-\hat{u} \ldots \hat{u}] \\[6pt] \text{Exemple avec } \hat{u} = 325\,\mathrm{V}\text{ : } u(t) = 325\,\mathrm{V} \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{T} \cdot t\right) \text{ de domaine } [-325\,\mathrm{V} \ldots 325\,\mathrm{V}] \end{gathered} \]

Le facteur donne au sinus général une signification technique. Une évolution de tension reçoit devant le sinus un facteur qui contient la valeur maximale de la tension et l’unité volt. Le rayon du cercle ne vaut donc plus 1, mais 325 V. La valeur de crête (325 V dans l’exemple) détermine la valeur maximale et la valeur minimale de la tension. Vous pouvez calculer les valeurs intermédiaires entre les extrêmes en substituant t dans l’équation.

Pourquoi cette valeur bizarre de 325 V dans l’exemple ? Parce que c’est la valeur de crête de la tension alternative d’une prise de courant européenne (230 V efficaces).

Tension alternative u(t) de valeur de crête û en général et avec û = 325 V

L’évolution temporelle de la tension est représentée ci-dessus sur deux périodes T. Une tension alternative ne cesse pas d’osciller après une période ; elle continue en général sur un très grand nombre de périodes. La tension de la prise de courant oscille depuis plus de 100 ans.

À l’étape suivante, nous détachons l’axe des temps de la période T. Lorsque vous mesurez des évolutions de tensions alternatives réelles, l’axe X porte des valeurs de temps réelles. Pour cela, nous avons besoin de la notion de fréquence.

Fréquence

La fréquence f indique combien de fois un événement se produit par unité de temps. Prenons en musique la notion de « beats per minute ». Elle indique combien de battements de basse se produisent par minute dans un morceau. Plus le morceau est rapide, plus il y a de battements par minute. C’est déjà une fréquence. 120 battements par minute correspondent à 2 battements par seconde. En technique, la fréquence se rapporte toujours à une seconde.

En courant alternatif, la notion de fréquence sert à compter combien de périodes un signal présente par seconde, c’est-à-dire combien de fois le signal b(t) fait le tour du cercle par seconde. La fréquence s’exprime en hertz (Hz). Cela correspond à l’unité SI [Hz] = 1/s. La tension de la prise de courant a la fréquence f = 50 Hz. La tension parcourt donc 50 périodes complètes du sinus par seconde. Si 50 périodes tiennent dans une seconde, une période dure un cinquantième de seconde. La période est liée à la fréquence. On a

\[ \begin{gathered} T = \frac{1}{f},\ [T] = \mathrm{s} \\[6pt] f = \frac{1}{T},\ [f] = \mathrm{Hz} = \frac{1}{\mathrm{s}} \\[6pt] \text{Exemple de la prise : } f = 50\,\mathrm{Hz} \rightarrow T = \frac{1}{f} = \frac{1}{50\,\mathrm{Hz}} = 20\,\mathrm{ms} \end{gathered} \]

La formule est aussi cohérente du point de vue des unités, car la période est un temps exprimé en secondes. La fréquence s’exprime en hertz, donc en 1/s. La tension de la prise à f = 50 Hz présente l’évolution suivante sur deux périodes :

Tension du réseau : valeur de crête 325 V, période 20 ms

\[ u(t) = 325\,\mathrm{V} \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{T} \cdot t\right) \]

Plaçons-nous en pensée sur la sinusoïde de la figure ci-dessus et laissons passer le temps t. Au fil du temps, la tension va et vient le long de la fonction entre la valeur minimale et la valeur maximale. À chaque instant t correspond une valeur de tension u(t), que l’on peut lire sur la figure ou calculer avec la formule. Cette valeur momentanée s’appelle la valeur instantanée. La valeur absolue des extrêmes de la courbe est la valeur de crête (aussi appelée amplitude).

On illustre souvent une fréquence par la hauteur d’un son. Un haut-parleur se compose d’une membrane vibrante qui déplace l’air. La membrane est mise en mouvement par un électroaimant ou un élément piézoélectrique dont le déplacement est proportionnel à la tension. Le son produit dépend donc de la tension appliquée au haut-parleur.

L’intensité du son – c’est-à-dire son volume – varie avec la valeur de crête de la tension, la hauteur du son avec la fréquence de la tension. Pour en savoir plus, voir ce lien (en allemand).

Pulsation

La pulsation ω est moins intuitive que la fréquence f. Elle décrit l’angle parcouru par seconde, c’est-à-dire le nombre de tours complets de longueur 2π par seconde, multiplié par 2π. On a

\[ \begin{gathered} \omega = 2\pi f \\[4pt] f = \frac{1}{T} \\[4pt] \omega = \frac{2\pi}{T} \end{gathered} \]

Grandeur physique	Symbole	Nom de l’unité	Symbole de l’unité
Fréquence	\(f\)	Hertz	\(\mathrm{Hz} = 1/\mathrm{s}\)
Pulsation	\(\omega\)	par seconde	\(1/\mathrm{s}\)

En fait, nous n’avons pas besoin d’une autre grandeur de fréquence. La fréquence f suffirait pour tout décrire en électrotechnique. La pulsation ω est néanmoins utilisée à de nombreux endroits en pratique. Elle simplifie la formule des grandeurs alternatives, car le terme 2π disparaît :

\[ \begin{gathered} u(t) = \hat{u} \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{T} \cdot t\right) \\[6pt] \omega = \frac{2\pi}{T} \\[6pt] u(t) = \hat{u} \cdot \sin(\omega t) \end{gathered} \]

L’unité de la pulsation n’est malheureusement pas le Hz, mais [ω] = 1/s. C’est la même unité SI que pour la fréquence f ; il faut pourtant toujours indiquer la pulsation ω en 1/s et la fréquence f en Hz (y compris à l’examen).

Angle de phase

Jusqu’ici, nous avons supposé que l’évolution de la tension a l’angle φ = 0 à l’instant t = 0 s. En général, ce n’est pas le cas. Le temps n’a pas de véritable origine. Ce serait peut-être le Big Bang, mais certainement pas un instant quelconque où commence une tension sinusoïdale. Comme pour les potentiels électriques, nous choisissons librement l’origine du temps. Pour les tensions et les potentiels, nous avons nous-mêmes défini quel potentiel a la masse comme référence. Nous pouvons ensuite calculer avec cette convention arbitraire.

Nous pouvons choisir librement l’origine ou la référence du temps. La tension du réseau parcourt 50 périodes par seconde. L’instant t où nous commençons la description mathématique est arbitraire. Nous pouvons donc placer l’origine du temps là où cela nous arrange le mieux mathématiquement, par exemple de sorte que toutes les grandeurs sinusoïdales non décalées commencent à t = 0 s avec φ = 0.

Si deux évolutions sinusoïdales sont présentes en même temps et représentées sur un même graphique, elles peuvent être décalées dans le temps l’une par rapport à l’autre. Ce décalage est toujours le même, quelle que soit l’origine choisie. Peu importe où nous commençons à tracer les courbes : elles sont décalées l’une par rapport à l’autre. Un décalage dans le temps correspond à une variation d’un angle φ sur le cercle. Voici un exemple de deux tensions alternatives de valeur de crête 1 V chacune :

Deux tensions sinusoïdales de phases différentes (bleue et rouge)

La courbe de tension rouge est décalée « vers la droite » de Δφ = −π/2 par rapport à la bleue. On dit aussi que la courbe rouge est « en retard » sur la bleue. La bleue est « en avance » sur la rouge. Sur l’axe des temps à droite, il s’agit d’un décalage d’un quart de période vers le futur. Dans la représentation circulaire à gauche, cela correspond à une rotation de 90° ou π/2 dans le sens des aiguilles d’une montre.

Mathématiquement, nous décrivons de tels décalages en ajoutant l’angle dans l’argument du sinus :

\[ \begin{gathered} \text{En général : } u(t) = 1\,\mathrm{V} \cdot \sin(\omega t + \varphi) \\[4pt] \text{Exemple : } u_{\mathrm{bleu}}(t) = 1\,\mathrm{V} \cdot \sin(\omega t + 0) \\[4pt] u_{\mathrm{rouge}}(t) = 1\,\mathrm{V} \cdot \sin(\omega t - \pi/2) \end{gathered} \]

Pourquoi l’angle de décalage de la courbe rouge est-il négatif alors que la courbe est décalée vers la droite ? Intuitivement, on ajouterait un angle. Substituons dans la formule une valeur de temps dont nous connaissons le résultat. C’est plus simple si l’on remplace à nouveau ωt par 2π/T. Vérifions si la formule prend, à l’instant t = T/2, la valeur U = 1 V attendue d’après le graphique.

\[ \begin{aligned} u_{\mathrm{rouge}}\left(t = \frac{T}{2}\right) &= 1\,\mathrm{V} \cdot \sin\left(\frac{2\pi t}{T} - \frac{\pi}{2}\right) = 1\,\mathrm{V} \cdot \sin\left(\frac{2\pi \cdot \frac{T}{2}}{T} - \frac{\pi}{2}\right) \\[6pt] &= 1\,\mathrm{V} \cdot \sin\left(\pi - \frac{\pi}{2}\right) = 1\,\mathrm{V} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\,\mathrm{V} \end{aligned} \]

Manifestement, la formule reproduit correctement la courbe du graphique. Si l’on ajoute l’angle (au lieu de le soustraire), le résultat est faux. Faites le calcul pour vous exercer.

Si une courbe est décalée vers la gauche par rapport à l’origine (choisie arbitrairement) du temps, il faut ajouter un angle positif dans l’argument du sinus. Si la courbe est décalée vers la droite, on soustrait un angle positif. Veillez à toujours calculer en « RAD », jamais en « DEG » (y compris à l’examen). Réglez votre calculatrice en conséquence.

L’argument du sinus (c’est-à-dire le terme entre ses parenthèses) est toujours un angle. Il n’a pas d’unité. C’est pourquoi on ne peut pas simplement écrire un décalage temporel Δt dans l’argument du sinus. Il faut le convertir en déphasage. On a :

\[ \varphi = -\frac{\Delta t}{T} \cdot 2\pi \]

La part du décalage dans la période, Δt/T, est multipliée par un tour complet de 2π. On obtient ainsi le déphasage correspondant à un décalage temporel. Attention au signe moins dans la formule.

En pratique, deux relations entre sinus et cosinus sont aussi importantes :

\[ \begin{gathered} u_1(t) = \hat{u}_1 \cos(\omega t) = \hat{u}_1 \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) \longrightarrow \textbf{cos} \text{ est en avance de } \pi/2 \text{ sur } \textbf{sin} \\[6pt] u_2(t) = \hat{u}_2 \sin(\omega t) = \hat{u}_2 \cos\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right) \longrightarrow \textbf{sin} \text{ est en retard de } \pi/2 \text{ sur } \textbf{cos} \end{gathered} \]

Dans ce tutoriel, nous ne calculons que des évolutions de tensions et de courants sinusoïdaux. Les autres formes d’onde ne sont pas étudiées.

Tant que nous n’étudions qu’une seule grandeur sinusoïdale, indiquer un angle de phase φ n’est pas utile. Nous plaçons alors intuitivement l’origine de sorte que φ = 0. C’est possible parce que la tension de la prise n’a pas de début dans le temps ; elle est toujours là et existait déjà avant notre naissance. Lorsque nous la mesurons ou la représentons, nous fixons une origine du temps pour cette opération.

Si nous étudions plusieurs grandeurs sinusoïdales décalées dans le temps les unes par rapport aux autres, il nous faut une phase φ pour exprimer ce décalage.

Détermination de la phase

Il existe une méthode pour déterminer le déphasage par rapport à une origine du temps. Vous déterminez d’abord la période T d’un signal, c’est-à-dire la durée au bout de laquelle le signal se répète. Puis vous tracez un second axe des angles sous l’axe des temps. L’intervalle d’angles [0 … 2π] est placé de façon à correspondre à l’intervalle de temps [0 .. T].

Ensuite, vous déterminez le passage par zéro positif du sinus. Le sinus a deux passages par zéro. L’un passe de valeurs positives à des valeurs négatives : c’est le mauvais, le passage par zéro négatif. Vous cherchez le passage par zéro où le signe des valeurs passe du négatif au positif.

Vous lisez ensuite l’angle auquel le sinus a son passage par zéro positif. Cet angle, affecté d’un signe négatif, est le déphasage de la fonction. Il faut un signe négatif, car vous avez déterminé le décalage vers la droite.

L’exemple suivant illustre la démarche :

Détermination de l’angle de phase à partir de l’évolution temporelle

\[ \varphi = -\frac{\pi}{2} \]

L’angle est toujours périodique de période 2π. Un angle de π/2 correspond aussi à l’angle −3π/2. Vous pouvez parcourir le cercle de π/2 dans le sens inverse des aiguilles d’une montre ou de 3π/2 dans le sens des aiguilles d’une montre : vous arrivez au même point. Vous pouvez donc toujours ajouter 2π au déphasage ou en soustraire 2π. Cela ne change pas l’information contenue dans le déphasage.

Autres grandeurs alternatives

La tension n’est pas la seule grandeur qui puisse être alternative. Le courant et la puissance peuvent l’être aussi. Pour la description mathématique, nous utilisons alors d’autres facteurs. Voici des exemples de courant alternatif et de puissance alternative sinusoïdaux :

\[ \begin{gathered} i(t) = \hat{\imath} \cdot \sin(\omega t + \varphi) \\[4pt] p(t) = \hat{p} \cdot \sin(\omega t + \varphi) \end{gathered} \]

Nous calculons avec ces grandeurs exactement comme avec les tensions alternatives. On les représente aussi de la même façon.

Exemple

Une tension sinusoïdale est donnée par la formule suivante et représentée en fonction du temps :

\[ u(t) = 5\,\mathrm{V} \cdot \sin(\omega t + \varphi) \text{ avec } T = 20\,\mathrm{ms},\ f = 50\,\mathrm{Hz},\ \omega = 314\,\frac{1}{\mathrm{s}} \text{ et } \varphi = -\frac{\pi}{4} \]

Vecteur tournant et évolution temporelle de la tension d’exemple

Le vecteur sur le cercle, dans la partie gauche de l’image, part de la position représentée. L’angle de départ indique le retard du signal. Le vecteur n’atteindra l’origine de sa rotation qu’après 2,5 ms. La valeur de crête de la tension correspond au rayon du cercle. La valeur instantanée à un instant t s’obtient par projection de la flèche sur l’axe y. Au fil du temps t, le vecteur parcourt le cercle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Plus la pulsation ω est grande, plus le vecteur tourne vite.

Résumé

Nous avons utilisé les paramètres suivants pour décrire la tension alternative :

\[ \begin{gathered} u(t) = \hat{u} \cdot \sin(\omega t + \varphi) \\[6pt] \begin{aligned} u(t)&\text{ : valeur instantanée} \\ \hat{u}&\text{ : valeur de crête (amplitude)} \\ \omega&\text{ : pulsation} \\ f&\text{ : fréquence} \\ t&\text{ : temps} \\ \varphi&\text{ : phase} \end{aligned} \end{gathered} \]

Exercices

À titre d’exemple, voici trois autres évolutions de tension. Essayez de trouver vous-même les formules qui les décrivent. Les solutions se trouvent plus bas. Une seule période est représentée à chaque fois ; les courbes se prolongent à gauche et à droite exactement comme dessiné.

Solution :

\[ \begin{gathered} u_{\mathrm{bleu}}(t) = 0{,}5\,\mathrm{V} \cdot \sin(\omega t + \varphi) \text{ avec } T = 1\,\mathrm{ms},\ f = 1\,\mathrm{kHz},\ \omega = 6{,}28\,\mathrm{k}\frac{1}{\mathrm{s}} \text{ et } \varphi = 0 \\[6pt] u_{\mathrm{rouge}}(t) = 5\,\mathrm{V} \cdot \sin(\omega t + \varphi) \text{ avec } T = 3{,}3\,\text{µs},\ f = 300\,\mathrm{kHz},\ \omega = 1{,}89\,\mathrm{M}\frac{1}{\mathrm{s}} \text{ et } \varphi = -\frac{\pi}{2} \\[6pt] u_{\mathrm{vert}}(t) = 0{,}75\,\mathrm{V} \cdot \sin(\omega t + \varphi) \text{ avec } T = 10\,\mathrm{s},\ f = 100\,\mathrm{mHz},\ \omega = 628\,\mathrm{m}\frac{1}{\mathrm{s}} \text{ et } \varphi = \frac{\pi}{2} \end{gathered} \]