Électrotechnique ETR › Calcul complexe en courant alternatif

Transformée de Laplace

Il existe une démarche générale quand les mathématiques ne permettent plus d’avancer : la transformation. Une transformation fait passer un problème dans une autre « sorte » de mathématiques.

La transformée de Laplace permet de simplifier tellement les mathématiques que les réseaux en grandeurs alternatives peuvent être calculés avec un effort mathématique presque aussi faible que pour les grandeurs continues. Vous aurez besoin de ce type de mathématiques dans la suite de vos études en métrologie, en automatique, en électrotechnique de l’énergie, pour les filtres numériques et dans bien d’autres disciplines. Il vaut la peine de bien comprendre ce chapitre dès maintenant.

La formule générale de la transformée de Laplace est :

\[ \begin{gathered} \text{Formule dans le domaine temporel à transformer : } x(t) \\[6pt] \text{Transformée de Laplace : } x(\omega) = \int_0^{\infty} x(t) \cdot e^{-j\omega t}\,dt \\[6pt] \text{La seule formule temporelle utile pour vous (en fondements de l’électrotechnique) :} \\[4pt] x(t) = \hat{x} \cdot \sin(\omega t + \varphi) \\[6pt] \text{Transformée de Laplace : } x(\omega) = \int_0^{\infty} \left[\hat{x} \cdot \sin(\omega t + \varphi)\right] \cdot e^{-j\omega t}\,dt \;\rightarrow\; \hat{x} \cdot e^{j\varphi} \end{gathered} \]

La transformée de Laplace elle-même n’est pas belle mathématiquement. Heureusement, nous n’avons jamais qu’une seule fonction à transformer, car en tension alternative nous calculons toujours avec la fonction sinus. Et cette unique solution figure ci-dessus dans la dernière équation. Pour ce qui est des mathématiques de la transformation avec l’intégrale, nous avons donc déjà terminé.

Toutes les grandeurs alternatives (tension, courant, puissance alternatifs) se composent toujours d’une valeur de crête, d’un sinus, d’une pulsation, du temps et d’un angle de phase. Pour l’exemple d’une tension alternative, nous avons les paramètres suivants :

\[ \begin{gathered} u(t) = \hat{u} \cdot \sin(\omega t + \varphi) \\[4pt] \text{Paramètres : } \hat{u}, \omega, t \text{ et } \varphi \\[4pt] \text{Fonction : sinus} \end{gathered} \]

La transformée de Laplace de cette fonction est connue. Nous pouvons donc simplement prendre le résultat et travailler avec.

\[ \begin{gathered} \text{Domaine temporel : } x(t) = \hat{x} \cdot \sin(\omega t + \varphi) \\[6pt] \text{Transformée de Laplace dans le « domaine fréquentiel » : } x(\omega) = \hat{x} \cdot e^{j\varphi} \end{gathered} \]

Pour la transformée de Laplace, nous n’avons besoin que de deux des quatre paramètres d’une grandeur alternative : la valeur de crête et le déphasage. La transformée de Laplace réduit massivement la quantité d’information sur le signal. Dans le domaine temporel, les 4 paramètres de la grandeur alternative sont pris en compte.

Examinons deux exemples :

\[ \begin{gathered} \text{Formule générale d’une tension alternative : } u(t) = \hat{u} \cdot \sin(\omega t + \varphi) \\[4pt] \text{Transformée de Laplace dans le domaine fréquentiel : } u(\omega) = \hat{u} \cdot e^{j\varphi} \\[4pt] \text{Exemple de tension alternative :} \\[2pt] u(t) = 3\,\mathrm{V} \cdot \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow u(\omega) = 3\,\mathrm{V} \cdot e^{j\frac{\pi}{2}} \\[8pt] \text{Formule générale d’un courant alternatif : } i(t) = \hat{\imath} \cdot \sin(\omega t + \varphi) \\[4pt] \text{Transformée de Laplace dans le domaine fréquentiel : } i(\omega) = \hat{\imath} \cdot e^{j\varphi} \\[4pt] \text{Exemple de courant alternatif :} \\[2pt] i(t) = 5\,\mathrm{mA} \cdot \sin\left(\omega t - \frac{\pi}{4}\right) \rightarrow i(\omega) = 5\,\mathrm{mA} \cdot e^{-j\frac{\pi}{4}} \end{gathered} \]

Il nous reste à expliquer ce que signifie « domaine fréquentiel », à quoi sert le « j » dans les formules et comment calculer avec ces fonctions exponentielles. Je peux vous le promettre : c’est bien plus simple qu’il n’y paraît au premier abord.