Électrotechnique ETR › Puissance alternative

Valeur moyenne et valeur efficace

Lorsque vous utilisez un sèche-cheveux sur une prise de courant, la question se pose de savoir quelle quantité d’énergie électrique est convertie en énergie thermique pour la chaleur et en énergie cinétique pour le mouvement de l’air. En courant continu, on peut simplement indiquer la puissance comme produit du courant par la tension. En courant alternatif sur une prise, ce n’est pas si simple. La question se pose : quelle puissance est présente en moyenne dans le temps ? Quel paramètre indiquer pour cela ? La valeur de crête ne convient pas, car elle n’est atteinte que brièvement deux fois par période. Nous n’avons pas encore d’autres paramètres.

En mathématiques, on utilise pour cela la valeur moyenne. La valeur moyenne d’une grandeur dans le temps indique la quantité de cette grandeur présente en moyenne sur une durée donnée. La valeur moyenne est l’aire sous la courbe divisée par la durée considérée. On la note par un trait horizontal au-dessus de la grandeur.

Avec des grandeurs sinusoïdales, nous avons le problème que la valeur moyenne sur une période du sinus est toujours nulle.

\[ \begin{gathered} \text{En général : } \overline{u} = \frac{1}{T} \int u(t)\,dt \\[4pt] \text{Pour une tension sinusoïdale } u(t) = \hat{u} \cdot \sin(\omega t)\text{ :} \\[4pt] \overline{u} = \frac{1}{T} \int_0^T \hat{u} \sin(\omega t)\,dt = -\frac{\hat{u}}{\omega T} \cos(\omega t)\Big|_0^T = -\frac{\hat{u}}{2\pi} \left(\cos(2\pi) - \cos(0)\right) = 0\,\mathrm{V} \end{gathered} \]

L’aire sous l’axe des temps et celle au-dessus se compensent dans la somme de l’intégrale. Elles sont de même taille, mais de signes opposés. C’est ce que montre l’évolution suivante de la tension :

Tension sinusoïdale sur une période : alternances positive et négative de même taille

Pour des grandeurs alternatives symétriques, la valeur moyenne est nulle. Pour certaines grandeurs alternatives, elle a une autre signification : si une courbe est décalée selon l’axe y, la valeur moyenne indique de combien elle est décalée. Mais nous n’étudions pas encore de telles évolutions de tension et de courant dans les fondements de l’électrotechnique. La figure suivante montre une tension décalée vers le haut. La valeur moyenne indique mathématiquement ce décalage.

Tension sinusoïdale décalée vers le haut ; la valeur moyenne ū indique le décalage

En électrotechnique, on n’utilise pas la valeur moyenne d’une tension sinusoïdale. Vous n’avez donc pas besoin de savoir la calculer. Il nous faut une grandeur mieux adaptée pour décrire l’aire ou le « contenu » d’une tension sinusoïdale.

Pour le « contenu » de la fonction sinus, il nous faut une mesure qui compte positivement les deux parties de l’aire. Si l’on élève d’abord la fonction au carré, qu’on fait ensuite la somme puis qu’on prend la racine carrée, on obtient une mesure de l’aire des deux parties. L’élévation au carré rend positive la partie négative. La racine carrée compense mathématiquement l’élévation au carré. C’est ce que réalise la valeur efficace.

Aire sous les alternances positive et négative et effet de l’élévation au carré — Fläche unter positiver / negativer Halbwelle = surface sous la demi-onde positive / négative · Effekt des Quadrierens = effet de l’élévation au carré

La valeur efficace de la tension u(t) est définie par la formule suivante :

\[ U_{\mathrm{eff}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T u^2(t)\,dt} \]

Si l’on introduit une tension sinusoïdale dans la formule, on obtient : la valeur efficace d’une grandeur sinusoïdale est égale à la valeur de crête divisée par √2. On a :

\[ U_{\mathrm{eff}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T \left(\hat{u} \cdot \sin(\omega t)\right)^2 dt} = \frac{\hat{u}}{\sqrt{2}} \]

La valeur efficace est donc une mesure de la valeur absolue d’une aire sous une courbe. Dans ce tutoriel (et à l’examen), nous ne calculons pas la valeur efficace avec l’équation intégrale. Nous n’étudions que des valeurs efficaces de grandeurs sinusoïdales, qui se calculent très simplement avec la simplification ci-dessus.

Ne pourrait-on pas obtenir le « contenu » d’une courbe plus simplement à partir d’autres paramètres ? L’exemple suivant montre que non. La figure ci-dessous montre deux évolutions de tension. Leurs paramètres classiques sont tous identiques : valeur de crête, période et fréquence. Seule la courbe rouge n’est pas sinusoïdale. Manifestement, les aires sous les courbes ne sont pas égales. Si ces courbes représentaient la puissance d’un sèche-cheveux branché sur la prise, il chaufferait bien avec la courbe bleue, mais resterait tiède avec la rouge. Pour la courbe rouge, il faudrait déterminer la valeur efficace par l’intégrale, car la fonction n’est pas un sinus.

Deux courbes p(t) de même valeur de crête et de même période : sinus (bleu) et impulsions étroites (rouge)

À retenir : la valeur efficace est une grandeur constante dans le temps. Sur une période, le carré de la valeur efficace délimite avec l’axe x la même aire que le carré du sinus.

Tension sinusoïdale de 1 V, effet de l’élévation au carré et valeur efficace 0,71 V : les trois aires bleues sont égales — Sinus-Spannung = tension sinusoïdale · Effekt des Quadrierens = effet de l’élévation au carré · Effektivwert = valeur efficace · Der Inhalt aller drei blauen Flächen ist gleich groß = les trois surfaces bleues sont égales