Électrotechnique BMT & UFC › Charge d’un élément de stockage

Bobine et résistance

Lorsqu’une bobine est utilisée comme accumulateur, les évolutions de la tension et du courant ressemblent à celles du condensateur. Les relations entre tension et courant pour une bobine avec résistance sont réciproques de celles d’un condensateur avec résistance.

Avant de plonger dans le calcul et la théorie, voici une très bonne vidéo (en allemand) sur le fonctionnement de base d’une bobine avec résistance.

Nous considérons de nouveau le montage en série d’une source de tension idéale, d’un interrupteur, d’une résistance et d’une bobine. L’interrupteur est d’abord ouvert et aucun courant ne traverse la bobine. Puis l’interrupteur est fermé et la bobine est reliée à la source.

\[ \begin{gathered} U_0 = u_R(t) + u_L(t) \\[4pt] i_0(t) = i_R(t) = i_L(t) \\[4pt] u_R(t) = R \cdot i_0(t) \\[4pt] i_L(t) = \frac{1}{L} \int u_L(t)\,dt + I_{L0} \\[4pt] u_L(t) = L \cdot \frac{di_L(t)}{dt} \\[6pt] u_i(t) = u_R(t) + u_L(t) = R \cdot i_0(t) + L \cdot \frac{di_0(t)}{dt} \end{gathered} \]

L’équation de maille contient le courant une fois linéairement et une fois sous forme de dérivée temporelle. Il s’agit à nouveau d’une équation différentielle. La solution ressemble à celle du condensateur avec résistance.

\[ \begin{gathered} u_L(t) = U_0 \cdot e^{-t/\tau} \\[4pt] i_L(t) = i_0(t) = \frac{U_0}{R} \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right) \\[4pt] \tau = \frac{L}{R} \end{gathered} \]

Simulation

Si l’on applique une tension positive à une bobine en série avec une résistance, le courant de la bobine augmente de façon exponentielle. Si l’on applique une tension négative, le courant diminue de façon exponentielle. Les évolutions de la tension et du courant sont les suivantes :

Évolutions de ui(t), uL(t) et i0(t) à la mise sous tension du circuit RL

Le courant est limité à U₀ / R. Le courant maximal ne circule qu’au bout d’un certain temps. Comme aucun courant ne circule au début, la tension aux bornes de la résistance vaut 0 V. Plus le courant augmente, plus la tension aux bornes de la résistance augmente. La tension aux bornes de la bobine diminue donc. La tension de la bobine impose la pente du courant. Comme elle diminue pendant la charge, la courbe du courant s’aplatit de plus en plus, jusqu’à ce que le courant n’augmente plus du tout.

Facultatif : comparaison d’une bobine avec et sans résistance

Remarque : cette section, jusqu’à la fin du chapitre, n’est pas au programme de l’examen.

Reprenons le circuit du chapitre sur les bobines. La bobine servait à lisser le courant. Elle était alimentée par une source rectangulaire dont la tension de sortie est représentée en bleu en fonction du temps.

Nous comparons maintenant les évolutions de la tension et du courant de la bobine dans les cas

a) source et bobine, et

b) source, bobine et résistance.

Les courants dans les deux circuits sont les suivants :

Bobine sur une tension rectangulaire a) sans et b) avec résistance R : comparaison des courants

Le courant de la bobine se calcule à partir de l’intégrale de sa tension. S’il n’y a pas de résistance dans le circuit, la tension rectangulaire donne un courant triangulaire. Le courant dans la bobine n’est pas limité. Tant que la tension est positive, le courant continue d’augmenter.

Une résistance limite le courant maximal dans la bobine. Comme une tension apparaît aux bornes de la résistance, la tension de la bobine diminue quand le courant augmente. La bobine étrangle ainsi elle-même son courant. La courbe verte du courant est plus basse que la rouge, car la tension de la bobine est plus faible avec résistance que sans. La courbe du courant avec résistance montre les charges et décharges typiques d’un accumulateur avec un limiteur en série. Vous avez déjà vu ces évolutions pour les condensateurs.

On n’optimise pas les courbes à l’aide des équations de la tension et du courant. Seul le paramètre τ est modifié. τ règle la vitesse des charges et des décharges. Vous modifiez donc les valeurs des composants R et L, et τ change avec elles. La forme de base de la courbe découle du montage ; vous ne la modifiez pas ainsi.

Pour aller plus loin

YouTube 1
YouTube 2
YouTube 3
Électrotechnique appliquée (en allemand)