Transformée de Laplace

Comme dans les bases de l’électrotechnique, nous utilisons aussi en automatique la transformation de Laplace pour décrire plus simplement les blocs fonctionnels. Le comportement I du chapitre précédent comportait déjà une intégration, et les autres comportements ne rendent pas les mathématiques plus agréables. La transformation de Laplace offre les avantages suivants :

1. Une intégration dans le domaine temporel devient un produit par 1/s dans le domaine fréquentiel (pour des grandeurs purement sinusoïdales, par 1/jω).

2. Une dérivation dans le domaine temporel devient un produit par s dans le domaine fréquentiel (pour des grandeurs purement sinusoïdales, par jω).

Fréquence complexe

Les automaticiens utilisent un paramètre de fréquence un peu différent de celui des électrotechniciens : la pulsation ω de l’électrotechnique est étendue. La fréquence complexe est définie de façon générale ainsi :

\[ \begin{gathered} s = \sigma + j\omega \\[6pt] \omega\text{ : pulsation de l’électrotechnique} \\[6pt] \sigma\text{ : amortissement d’une sinusoïde} \end{gathered} \]

En électrotechnique, nous n’avons considéré jusqu’ici que des oscillations sinusoïdales permanentes. Les oscillations permanentes non amorties, dont la valeur de crête ne varie pas dans le temps, se calculent toujours avec s = jω, donc σ = 0. C’est pourquoi les électrotechniciens, paresseux, n’utilisent en régime alternatif que la partie s = jω. Le paramètre σ définit l’amortissement d’une oscillation sinusoïdale. Si la valeur de crête d’une sinusoïde diminue par exemple sans cesse dans le temps, un σ est en jeu.

Prenons par exemple l’oscillation d’une balançoire que l’on lâche. Elle va et vient avec la pulsation ω, mais elle ralentit et finit par s’arrêter, à cause du frottement et de la résistance de l’air. Ce freinage amortit l’oscillation. Pour σ < 0, une oscillation est amortie. Pour σ = 0, elle est non amortie et ne varie pas dans le temps. Pour σ > 0, l’oscillation est même amplifiée : son amplitude ne cesse d’augmenter. C’est ce qui se passe si l’on pousse régulièrement la balançoire au bon moment. Nous n’approfondissons pas ce cas ici.

Allure de u(t) = U0 · e^((σ+jω)t) pour σ < 0 (amortie), σ = 0 (amplitude constante) et σ > 0 (croissante)

Dans ce tutoriel, nous n’étudierons les systèmes amortis que plus tard ; vous pouvez donc ignorer σ pour l’instant. En automatique, on utilise la fréquence complexe s partout où l’électrotechnique utilise jω. C’est une tradition, à laquelle vous serez confronté dans la pratique ; c’est pourquoi j’introduis s dès maintenant. Mathématiquement, on remplace donc toujours jω par s dans les équations.

À première vue, la description avec s est bien plus simple qu’avec jω, car les nombres complexes n’apparaissent plus dans les calculs. Mais ils ne sont que cachés, car s est bien sûr complexe. En automatique, les calculs semblent toutefois quasi réels, et les nombres complexes restent « encapsulés » dans s.

\[ \begin{gathered} \text{Domaine temporel : } y(t) = k_I \int x(t)\,dt + y_0 \text{ avec } y_0 = 0 \\[6pt] \text{Domaine fréquentiel, électrotechnique : } y(\omega) = \frac{1}{j\omega} \cdot k_I \cdot x(\omega) \\[6pt] \text{Domaine fréquentiel, automatique : } y(s) = \frac{1}{s} \cdot k_I \cdot x(s) \\[6pt] H(s) = \frac{\text{sortie}}{\text{entrée}} = \frac{y(s)}{x(s)} = \frac{1}{s} \cdot k_I \end{gathered} \]

Le comportement I, en tant que fonction du temps, est décrit par une équation intégrale. Il est mathématiquement bien plus simple de calculer avec s dans le domaine fréquentiel : le comportement I n’est plus alors qu’une multiplication par le facteur k_I / s.

On répartit généralement les facteurs de l’intégration sur deux blocs. Le facteur k_I seul présente un comportement P ; le facteur 1/s indique la présence d’un comportement I.

\[ \text{Modélisation générale du comportement I dans le domaine fréquentiel} \]

Le comportement P peut lui aussi être représenté dans le domaine fréquentiel par une fonction de transfert complexe. Heureusement, elle est exactement la même que dans le domaine temporel, car pour le comportement P :

\[ \begin{gathered} y(t) = k_P \cdot x(t) \\[6pt] y(s) = k_P \cdot x(s) \\[6pt] H(s) = k_P \end{gathered} \]

Complément important : la lettre « s » désigne déjà les secondes. Quand on régule des systèmes réels, les formules contiennent à la fois des secondes et s comme fréquence complexe. Pour éviter toute confusion, la seconde est alors toujours écrite en gras s, contrairement à la fréquence complexe s.

Vidéo sur l’intérêt des transformations (en allemand)