Électrotechnique BMT & UFC › Charge d’un élément de stockage

Condensateur et résistance

Pour simplifier, nous considérons le cas où seule une résistance se trouve entre une source de tension idéale et un condensateur. Examinons l’équation de maille et les équations des composants du circuit. On a

Montage en série d’une source de tension U0, d’une résistance R et d’un condensateur C

\[ \begin{gathered} U_0 = U_R + U_C \\[4pt] I_0 = I_R = I_C \\[4pt] U_R = R \cdot I_0 \\[4pt] U_C = U_0 - U_R = U_0 - R \cdot I_0 \end{gathered} \]

Considérons d’abord le condensateur vide, avec U_C = 0 V. La tension aux bornes de la résistance est alors égale à la tension de la source. Il n’existe aucun point de fonctionnement où la tension aux bornes de la résistance soit plus grande. C’est pourquoi le courant est maximal lorsque le condensateur est vide.

\[ \begin{gathered} \text{Condensateur vide : } U_C = 0\,\mathrm{V} \\[4pt] U_R = U_0 - U_C = U_0 \\[4pt] I_0 = \frac{U_0}{R} \text{ maximal} \end{gathered} \]

Le courant charge le condensateur. Du courant entre dans le condensateur jusqu’à ce qu’il soit chargé à la tension de la source. La tension du condensateur ne peut pas être plus élevée. Considérons ensuite un condensateur chargé au maximum :

\[ \begin{gathered} \text{Condensateur chargé au maximum : } U_C = U_0 \\[4pt] U_R = U_0 - U_C = 0\,\mathrm{V} \\[4pt] I_0 = \frac{U_R}{R} = 0\,\mathrm{A} \end{gathered} \]

À ce point de fonctionnement, aucun courant ne circule. Les potentiels à gauche et à droite de la résistance sont égaux. Il n’y a plus de tension aux bornes de la résistance, le courant qui la traverse est donc nul. La tension aux bornes de la résistance dépend de la tension aux bornes du condensateur, c’est-à-dire de son état de charge. Plus la tension du condensateur est élevée, plus le courant devient faible.

Fort de ce constat, passons au modèle hydraulique pour une explication intuitive.

Modèle hydraulique

Remarque : cette section, jusqu’au titre suivant, n’est pas au programme de l’examen, mais elle aide beaucoup à comprendre.

Considérons un très grand lac peu profond à hauteur fixe, qui représente une source de tension idéale pour l’eau. Ce lac conserve sa hauteur et son niveau quelle que soit la quantité d’eau prélevée. À partir de ce lac, un réservoir d’eau (seau) est rempli par un tuyau. Cela correspond au schéma électrique.

Modèle hydraulique : condensateur comme bassin, résistance comme tuyau, source de tension comme niveau d’eau — Spannungsquelle = source de tension · Kondensator = condensateur

La tension de la source correspond à la hauteur du lac. Elle est invariable. La tension du condensateur correspond à la hauteur de remplissage du réservoir. La tension aux bornes de la résistance correspond à la pente du tuyau, c’est-à-dire à la différence de hauteur entre ses extrémités.

Dans le montage en série de R et C, la tension de la source se répartit entre la résistance et le condensateur. Dans l’analogie, la hauteur du lac doit donc se répartir entre la hauteur de remplissage du réservoir et la pente du tuyau. C’est pourquoi l’extrémité inférieure du tuyau flotte sur l’eau du réservoir. La pente du tuyau diminue ainsi à mesure que le réservoir se remplit.

Si le réservoir est vide, la pente du tuyau est maximale. Il entre donc un maximum d’eau dans le réservoir. Si le réservoir est plein, il ne reste plus de pente pour le tuyau. Plus aucune eau n’entre dans le réservoir. Plus le réservoir est plein, plus le débit dans le tuyau est faible, car sa pente diminue. Voilà, de manière imagée, comment se déroule la charge d’un condensateur à travers une résistance.

La figure suivante montre des valeurs numériques des grandeurs électriques et des illustrations des niveaux de remplissage correspondants du condensateur dans le modèle hydraulique :

Réservoir vide, à moitié plein et plein : tensions et courants dans le modèle hydraulique — Speicher = élément de stockage · Quelle = source · Kondensator = condensateur · Widerstand = résistance · Spannungsquelle = source de tension

Sur l’image de gauche, le seau est vide. Le tuyau a sa pente maximale, et un maximum d’eau entre dans le seau. Cela correspond à une résistance dont la tension est maximale lorsque le condensateur est vide et qui laisse donc passer un courant maximal vers le condensateur.

Plus le seau se remplit, plus la pente du tuyau diminue, et de moins en moins d’eau entre dans le seau (image du milieu). Quand le niveau du seau atteint la hauteur de la source, la pente du tuyau est nulle et plus aucune eau n’entre dans le seau. C’est ce que montre l’image de droite.

Évolutions temporelles

L’évolution temporelle d’un remplissage ressemble à peu près à ceci :

Hauteur de la source, niveau h(t) et débit v̇(t) en fonction du temps — Quellenhöhe = hauteur de la source · Füllstand = niveau · Zulauf = arrivée

\[ \begin{gathered} \text{Exemple : } h_{\mathrm{Max}} = 5\,\mathrm{m} \\[4pt] \text{Tuyau de « résistance » } R = 2\,\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{m}^2} \\[4pt] \text{Débit maximal : } \dot{v}_{\mathrm{Max}} = \frac{h_{\mathrm{Max}}}{R} = \frac{5\,\mathrm{m}}{2\,\dfrac{\mathrm{s}}{\mathrm{m}^2}} = 2{,}5\,\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{s}} \end{gathered} \]

Pour calculer la charge, nous avons besoin d’un interrupteur. Si le réservoir était relié en permanence à la source, il serait tout simplement toujours chargé. Ce serait ennuyeux. La source est donc reliée au réservoir vide par la fermeture d’un interrupteur (pour l’eau : une vanne) à l’instant t = 1 s. En électrotechnique, une source de tension est reliée par un interrupteur au montage en série de la résistance et du condensateur.

Étude mathématique

L’étude mathématique de cette section, jusqu’au titre suivant, n’est pas au programme de l’examen. La solution du problème est décrite par une équation différentielle. Il vous manque probablement les bases mathématiques nécessaires. Essayez donc simplement de suivre à peu près le calcul.

À partir de maintenant, j’utilise dans les calculs des lettres minuscules pour la tension et le courant. Nous utilisons des majuscules pour les valeurs constantes, invariables dans le temps. Lors de la charge et de la décharge du condensateur, la tension et le courant varient dans le temps ; c’est pourquoi j’utilise des minuscules. Seules la tension constante de la source et la tension initiale constante du condensateur peuvent rester en majuscules.

Dans le montage en série de la résistance et du condensateur, on a les équations :

\[ \begin{gathered} U_0 = u_R(t) + u_C(t) \\[4pt] i_0(t) = i_R(t) = i_C(t) \\[4pt] u_R(t) = R \cdot i_0(t) \\[4pt] u_C(t) = \frac{1}{C} \int i_0(t)\,dt + U_{C0} \\[6pt] U_0 = u_R(t) + u_C(t) = R \cdot i_0(t) + \frac{1}{C} \int i_0(t)\,dt + U_{C0} \end{gathered} \]

Dans la dernière équation, le courant et son intégrale apparaissent dans une même équation. En la dérivant une fois, on obtient une équation contenant le courant et sa dérivée. Ce type d’équation s’appelle une équation différentielle. Je ne démontre pas la solution, j’indique simplement le résultat. Nous vérifions ensuite sa plausibilité en le substituant dans l’équation. Pour le courant, on a :

\[ \begin{gathered} i_0(t) = \frac{U_0}{R} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} \text{ avec } \tau = R \cdot C \\[6pt] \text{Substitution dans la formule avec } U_{C0} = 0\,\mathrm{V}\text{ :} \\[4pt] U_0 = u_R(t) + u_C(t) \\[4pt] U_0 = R \cdot i_0(t) + \frac{1}{C} \int i_0(t)\,dt + U_{C0} \\[4pt] U_0 = R \cdot \frac{U_0}{R} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} + \frac{1}{C} \int \left(\frac{U_0}{R} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\right) dt \\[6pt] \frac{U_0}{R} \text{ est constant et sort de l’intégrale :} \\[4pt] U_0 = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} + \frac{U_0}{RC} \int \left(e^{-\frac{t}{\tau}}\right) dt \\[6pt] \text{Calcul de la primitive avec } \int \left(e^{-kt}\right) dt = \frac{1}{-k} e^{-kt} + c \\[4pt] \text{avec } k = \frac{1}{\tau} = \frac{1}{RC} \text{ et } c = \tau \text{ (d’après } u_C(0) = 0\,\mathrm{V}\text{)} \\[6pt] U_0 = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} + \frac{U_0}{RC} \cdot \left[(-\tau) \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} + \tau\right] = \left(U_0 - \frac{U_0}{RC} \cdot RC\right) \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} + U_0 \\[6pt] U_0 = (U_0 - U_0) \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} + U_0 = U_0 \end{gathered} \]

Comme l’équation est satisfaite à la dernière ligne avec U₀ = U₀, nous avons manifestement substitué une expression correcte pour i₀. Sinon, les deux membres de l’équation ne seraient pas égaux après substitution. Cela montre que l’équation du courant ci-dessus est juste. Pour la tension du condensateur initialement vide, avec U_C0 = 0 V, on a alors :

\[ \begin{aligned} u_C(t) &= \frac{1}{C} \int i_0(t)\,dt = \frac{1}{C} \int \left(\frac{U_0}{R} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\right) dt \\[4pt] &= \frac{U_0}{RC} \cdot (-\tau) \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} + \frac{U_0}{RC} \cdot RC \\[4pt] &= -U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} + U_0 \\[4pt] &= U_0 \left(1 - e^{-t/\tau}\right) \end{aligned} \]

Les évolutions de la tension et du courant du condensateur correspondent à celles du réservoir dans le modèle hydraulique. Pour mieux modéliser la mise en circuit de la source par l’interrupteur S, j’introduis une tension interne u_i. Interrupteur ouvert, on a u_i = 0 V. Interrupteur fermé, on a u_i = U₀. L’interrupteur est fermé à t = 0 s.

Circuit RC avec tension d’entrée ui et tension du condensateur uC

\[ \begin{gathered} u_C(t) = U_0 \left(1 - e^{-t/\tau}\right) \\[4pt] i_0(t) = \frac{U_0}{R} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} \\[4pt] \tau = R \cdot C \end{gathered} \]

Simulation

Évolutions de ui(t), uC(t) et i0(t) pendant la charge

Examinons les grandeurs électriques à l’instant de commutation et après un temps infini. Pour cela, nous remplaçons le temps t par les valeurs 0 s et ∞. On a :

\[ \begin{gathered} e^{0} = 1 \\ e^{-\infty} = 0 \\ u_C(t) = U_0 \left(1 - e^{-t/\tau}\right) \\ i_0(t) = \frac{U_0}{R} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} \\[4pt] \text{Après un temps infini, pour } t \rightarrow \infty\text{ :} \\ i_C(\infty) = \frac{U_0}{R} \cdot 0 = 0\,\mathrm{A} \\ u_C(\infty) = U_0 (1 - 0) = U_0 \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} \text{À l’instant de commutation } t = 0\,\mathrm{s}\text{ :} \\ i_C(0\,\mathrm{s}) = \frac{U_0}{R} \cdot 1 = \frac{U_0}{R} \\ u_C(0\,\mathrm{s}) = U_0 (1 - 1) = 0\,\mathrm{V} \end{gathered} \]

Décharge d’un condensateur

Jusqu’ici, nous avons seulement chargé le condensateur. Un condensateur se décharge habituellement dans une charge. Cette charge se comporte souvent comme une résistance ohmique. On n’étudie donc ici que le cas d’un condensateur qui se décharge à travers une résistance. Là encore, on fait des hypothèses simplificatrices :

Au début de la décharge, le condensateur est chargé à une tension U_C = U₀. Il est d’abord isolé de la charge par un interrupteur et conserve donc sa tension.

Décharge : condensateur C via l’interrupteur S et la résistance R

Fermons maintenant l’interrupteur et examinons la tension et le courant pendant la décharge du condensateur. J’ai de nouveau représenté la grandeur auxiliaire u_i derrière l’interrupteur.

Interrupteur ouvert, on a u_i = 0 V. Interrupteur S fermé, le condensateur et la résistance sont en parallèle. On a alors u_i = u_R. Les équations du courant et de la tension pendant la décharge sont (de nouveau sans démonstration) :

\[ \begin{gathered} u_C(t) = U_0 \cdot e^{-t/\tau} \\[4pt] i_0(t) = -\frac{U_0}{R} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} \\[4pt] \tau = R \cdot C \end{gathered} \]

Examinons à nouveau les instants simples t = 0 s et t → ∞ pour vérifier la plausibilité des équations. Dès que l’interrupteur S est fermé, la tension du condensateur est appliquée à la résistance. La tension aux bornes de la résistance n’est jamais plus grande qu’à cet instant. C’est pourquoi le courant maximal sort du condensateur. Après un temps infini, le condensateur est complètement déchargé. Il n’y a alors plus de tension aux bornes de la résistance non plus. Le courant vaut donc 0 A.

\[ \begin{gathered} e^{0} = 1 \\ e^{-\infty} = 0 \\ u_C(t) = U_0 \cdot e^{-t/\tau} \\ i_C(t) = -\frac{U_0}{R} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} \\[4pt] \text{Après un temps infini, pour } t \rightarrow \infty\text{ :} \\ i_C(\infty) = -\frac{U_0}{R} \cdot 0 = 0\,\mathrm{A} \\ u_C(\infty) = U_0 \cdot 0 = 0\,\mathrm{V} \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} \text{À l’instant de commutation } t = 0\,\mathrm{s}\text{ :} \\ i_C(0\,\mathrm{s}) = -\frac{U_0}{R} \cdot 1 = -\frac{U_0}{R} \\ u_C(0\,\mathrm{s}) = U_0 \cdot 1 = U_0 \end{gathered} \]

Évolutions de uC(t) et iC(t) pendant la décharge

Signification de tau (τ)

Remarque : à partir d’ici, le texte est de nouveau au programme de l’examen.
Tau a pour unité la seconde ; c’est donc une grandeur de temps. Elle indique la lenteur ou la rapidité d’une charge. Plus tau est grand, plus il faut de temps jusqu’à la charge complète, donc plus le processus est lent. La forme de la courbe de charge ne change pas avec tau.

On a τ = RC. Plus la capacité C du condensateur est grande, plus la charge est lente. D’après Q = C ∙ U, il faut séparer davantage de charges avant que le condensateur n’atteigne sa tension finale. Une résistance plus grande réduit le courant de charge ; la charge dure donc plus longtemps.

Influence de la constante de temps τ sur uC(t) et iC(t) — klein = petit · groß = grand

À l’instant t = τ, la tension du condensateur atteint 63 % de sa valeur finale. Pendant la charge, on a donc u_C(τ) = 0,63 ∙ U₀ à t = τ. On peut lire la valeur de τ sur la courbe. C’est l’écart de temps entre le basculement de l’interrupteur et l’instant où la tension du condensateur a atteint 63 % de sa valeur finale.

Constante de temps τ : après t = τ, le condensateur est chargé à 63 % de U0

Revenons au seau. Remplir ou vider un seau de plus grande surface de base A prend plus de temps. La surface A est l’analogue de la capacité C. Le remplir ou le vider par un tuyau plus étroit prend aussi plus de temps que par un tuyau large. Un petit diamètre de tuyau est l’analogue d’une grande résistance. Il est donc plausible que τ augmente quand R et C augmentent.