Électrotechnique ETR › Calcul complexe en courant alternatif

Phaseurs complexes

Pour la réflexion qui suit, nous avons besoin de trigonométrie. Voici donc un petit rappel. Dans un triangle rectangle de côtés A, B et C, les règles suivantes s’appliquent :

Triangle rectangle de côtés A, B, C et d’angle φ ; C racine de A² + B², A = C·cos(φ), B = C·sin(φ)

\[ \begin{gathered} \text{Pythagore : } A^2 + B^2 = C^2 \\[6pt] \sin(\varphi) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{B}{C} \\[6pt] \cos(\varphi) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{A}{C} \\[6pt] \tan(\varphi) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{B}{A} \end{gathered} \]

On peut représenter un nombre complexe comme un point du plan complexe. On peut aussi le représenter comme un vecteur (flèche) allant de l’origine du repère jusqu’au point. Cette flèche a une longueur et une direction. La direction est donnée par un angle. L’origine des angles est la direction de l’axe réel (vers la droite). La longueur se calcule à partir de la partie réelle et de la partie imaginaire. La flèche forme toujours avec l’axe réel un triangle rectangle dans lequel on peut calculer avec le sinus et le cosinus. Prenons le nombre complexe (vert) de l’exemple ci-dessus :

Vecteur Z4 = 4 − j10 dans le plan complexe avec partie réelle, partie imaginaire, module et angle φ — imaginäre Achse = axe imaginaire · Realteil = partie réelle · reelle Achse = axe réel · Imaginärteil = partie imaginaire

\[ \begin{gathered} Z_4 = 4 - j10 \\[4pt] \text{Partie imaginaire : } \mathrm{Im}\{Z_4\} = -10 \text{ (sans j)} \\[4pt] \text{Partie réelle : } \mathrm{Re}\{Z_4\} = 4 \\[4pt] \text{Longueur : module par Pythagore dans le triangle rectangle :} \\[2pt] |Z_4| = \sqrt{\mathrm{Im}\{Z_4\}^2 + \mathrm{Re}\{Z_4\}^2} = \sqrt{(-10)^2 + (4)^2} = \sqrt{116} = 10{,}77 \\[4pt] \text{Angle } \varphi\text{ : entre l’axe réel et le vecteur} \\[2pt] \tan(\varphi) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{\mathrm{Im}\{Z_4\}}{\mathrm{Re}\{Z_4\}} \\[6pt] \varphi = \arctan\left(\frac{\mathrm{Im}\{Z_4\}}{\mathrm{Re}\{Z_4\}}\right) = \arctan\left(\frac{-10}{4}\right) = -68{,}2^\circ \\[6pt] \mathrm{Re}\{Z_4\} = |Z_4| \cdot \cos(\varphi) \\[4pt] \mathrm{Im}\{Z_4\} = |Z_4| \cdot \sin(\varphi) \end{gathered} \]

Nous abrégeons « partie imaginaire » par Im{…} et « partie réelle » par Re{…}. L’angle φ est compté positivement dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. L’angle φ = 45° pointe donc en haut à droite. Dans l’exemple ci-dessus, l’angle est négatif, car il est tracé dans le sens des aiguilles d’une montre à partir de l’axe réel.

On peut décrire mathématiquement un nombre complexe de deux façons. Soit on donne partie réelle + j partie imaginaire : on parcourt alors la partie réelle le long de l’axe réel et la partie imaginaire le long de l’axe imaginaire, et l’on atteint ainsi le point du plan complexe. Nous appelons cette forme de description la forme algébrique.

Soit on donne le module (longueur du vecteur) et l’angle φ. On tourne alors à l’origine du repère de l’angle φ dans le sens inverse des aiguilles d’une montre et l’on parcourt la longueur de la flèche dans cette direction. Nous appelons cette forme de description la forme exponentielle. Les deux formes décrivent le même nombre complexe, car elles aboutissent au même point du plan complexe.

Rotation et longueur

Nous séparons la rotation d’angle φ dans le plan complexe de la longueur du vecteur. Nous voulons considérer ces deux effets indépendamment. La longueur ne doit contenir aucune rotation, et la rotation aucune longueur. Obtenir une rotation pure sans changement de longueur n’est pas trivial. Il nous faut pour cela un opérateur de rotation de longueur 1. Mathématiquement, la longueur correspond au module. Nous cherchons donc une description mathématique générale d’un vecteur de longueur 1 tourné de l’angle φ. En mathématiques, un tel opérateur s’appelle un « vecteur unitaire ».

Cercle unité dans le plan complexe avec le vecteur Z de longueur 1 sous l’angle φ

\[ \begin{gathered} |Z| = 1 \\[4pt] \mathrm{Re}\{Z\} = |Z| \cdot \cos(\varphi) = \cos(\varphi) \\[4pt] \mathrm{Im}\{Z\} = |Z| \cdot \sin(\varphi) = \sin(\varphi) \\[4pt] Z = \mathrm{Re}\{Z\} + j\,\mathrm{Im}\{Z\} = 1 \cdot \cos(\varphi) + j1 \cdot \sin(\varphi) \end{gathered} \]

Considérons un cercle de rayon 1 dans le plan complexe. Le pied du vecteur est toujours à l’origine du repère. Un vecteur allant du centre du cercle jusqu’au cercle a toujours la longueur 1. La pointe de la flèche peut se trouver n’importe où sur le cercle. Seul l’angle φ change alors, jamais la longueur du vecteur. En calcul vectoriel, ce vecteur correspond à un vecteur unitaire. Un vecteur unitaire a toujours la longueur 1.

Ce vecteur Z est un opérateur de rotation. Si nous multiplions Z par un facteur constant, le facteur décrit la longueur et Z la direction du vecteur dans le plan complexe. Nous décrivons une rotation pure de φ sans changement de longueur par cos(φ) + j ∙ sin(φ).

Il existe une propriété géniale des nombres complexes dans le plan complexe, qui permet une description mathématique extrêmement simple d’une rotation d’un angle φ. On a (sans démonstration) :

\[ \begin{gathered} \cos(\varphi) + j\sin(\varphi) = e^{j\varphi} \\[4pt] e^{j\varphi}\text{ : rotation de } \varphi \text{, de longueur 1} \\[4pt] e\text{ : nombre d’Euler, que votre calculatrice connaît} \end{gathered} \]

Nous tournons donc un vecteur de l’angle φ en le multipliant par e^jφ. La longueur « pure » d’un vecteur, sans information de rotation, est donnée par son module. Nous l’avons déjà vu plus haut. Pour l’exemple du nombre Z₄ = 4 – j10, on a :

\[ \begin{gathered} Z_4 = 4 - j10 \\[4pt] \text{Longueur : module par Pythagore dans le triangle rectangle} \\[2pt] |Z_4| = \sqrt{\mathrm{Im}\{Z_4\}^2 + \mathrm{Re}\{Z_4\}^2} = \sqrt{(-10)^2 + (4)^2} = \sqrt{116} = 10{,}77 \\[4pt] \text{La longueur du vecteur } Z_4 \text{ est égale au module } |Z_4| \end{gathered} \]

Avec l’angle φ et le module d’un nombre complexe, on peut calculer la partie réelle et la partie imaginaire (et inversement) :

\[ \begin{gathered} \text{Variante 1 : partie réelle et partie imaginaire données :} \\[4pt] \text{Forme algébrique : } Z_4 = 4 - j10 \\[4pt] \mathrm{Re}\{Z_4\} = 4 ;\; \mathrm{Im}\{Z_4\} = -10 \text{ (lus)} \\[4pt] \text{Cherché : longueur et angle de } Z_4 \\[4pt] |Z_4| = \sqrt{\mathrm{Re}^2 + \mathrm{Im}^2} = \sqrt{4^2 + 10^2} = 10{,}77 \\[6pt] \varphi_{Z4} = \arctan\left(\frac{\mathrm{Im}}{\mathrm{Re}}\right) = \arctan\left(\frac{-10}{4}\right) = -68{,}2^\circ \\[6pt] \text{Forme exponentielle : } Z_4 = 10{,}77 \cdot e^{-j68{,}2^\circ} \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} \text{Variante 2 : angle et longueur donnés} \\[4pt] \text{Forme exponentielle : } Z_4 = |Z_4| \cdot e^{j\varphi} = 10{,}77 \cdot e^{-j68{,}2^\circ} \\[4pt] \text{Cherché : partie réelle et partie imaginaire de } Z_4 \\[4pt] \mathrm{Re}\{Z_4\} = |Z_4| \cdot \cos(\varphi) = 10{,}77 \cdot \cos(-68{,}2^\circ) = 4 \\[4pt] \mathrm{Im}\{Z_4\} = |Z_4| \cdot \sin(\varphi) = 10{,}77 \cdot \sin(-68{,}2^\circ) = -10 \\[4pt] \text{Forme algébrique : } Z_4 = \mathrm{Re}\{Z_4\} + j\,\mathrm{Im}\{Z_4\} = 4 - j10 \end{gathered} \]

Vous voyez que les deux formes de représentation décrivent le même vecteur.

Traçons maintenant, à titre d’exemple, un vecteur de longueur 5 et de direction 45°. Nous traçons pour cela un cercle de rayon 5. Tout vecteur partant de l’origine et aboutissant sur ce cercle a la longueur 5. Nous donnons ensuite au vecteur l’angle 45°. Nous partons de la direction 0° vers la droite, puis tournons de 45° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre : le vecteur pointe donc en haut à droite.

Vecteur Z5 de longueur 5 à 45° sur un cercle de rayon 5 ; parties réelle et imaginaire de 3,54 chacune

\[ \begin{gathered} \text{Forme exponentielle : } Z_5 = 5 \cdot e^{j45^\circ} \\[4pt] \text{Forme algébrique :} \\[2pt] \mathrm{Re}\{Z_5\} = 5 \cdot \cos(45^\circ) = 3{,}54 \\[4pt] \mathrm{Im}\{Z_5\} = 5 \cdot \sin(45^\circ) = 3{,}54 \\[4pt] Z_5 = 3{,}54 + j3{,}54 \end{gathered} \]

Vous voyez que la partie réelle et la partie imaginaire sont toujours inférieures (ou égales) à la longueur du vecteur. Nous pouvons maintenant allonger le vecteur en le multipliant par une constante. Nous doublons sa longueur en le multipliant par 2. Sa direction ne change pas. On a :

Vecteur étiré 2·Z5 de longueur 10 à 45° ; parties réelle et imaginaire de 7,08 chacune

Nous pouvons aussi tourner le vecteur Z₅ sans l’allonger. Pour le tourner de 90°, nous le multiplions par l’opérateur de rotation e^j90°. Cet opérateur a la longueur 1 ; la multiplication ne change donc pas sa longueur. On a :

Vecteur Z5 et vecteur Z5·e^(j90°) tourné de 90°, à 135°

\[ \begin{gathered} Z_5 = 5 \cdot e^{j45^\circ} \\[4pt] Z_5 \cdot e^{j90^\circ} = 5 \cdot e^{j45^\circ} \cdot e^{j90^\circ} = 5 \cdot e^{j45^\circ + j90^\circ} = 5 \cdot e^{j135^\circ} \end{gathered} \]

La rotation laisse la longueur inchangée. Pour tourner dans le sens des aiguilles d’une montre, prenez un nombre négatif dans l’exposant de l’opérateur de rotation.

Vérifiez maintenant si vous avez compris en résolvant l’exercice suivant :

Exercice

Soit le vecteur Z₆ = 3 ∙ e^j225°. Tracez-le dans le plan complexe et calculez ses parties réelle et imaginaire. Multipliez ensuite le vecteur par 5 ∙ e^j45°, soit Z₇ = 5 ∙ Z₆ ∙ e^j45°. Que produit cette multiplication ? Décomposez l’effet en changement de longueur et rotation.

Opérations

On peut additionner et soustraire les nombres complexes sous forme algébrique. Sous forme exponentielle, ce n’est pas aussi simple. On a :

\[ \begin{gathered} Z_1 = A + jB \\[4pt] Z_2 = C + jD \\[4pt] Z_1 + Z_2 = (A + jB) + (C + jD) = A + C + j(B + D) \end{gathered} \]

L’addition et la soustraction fonctionnent en principe de la même façon. On peut aussi les multiplier et les diviser. Sous forme algébrique, cela donne :

\[ \begin{gathered} Z_1 = A + jB \\[4pt] Z_2 = C + jD \\[4pt] Z_1 \cdot Z_2 = (A + jB) \cdot (C + jD) = AC + jBC + jAD + j^2 BD \\[4pt] \text{Avec } \textcolor{#c00000}{j^2 = -1}\text{ :} \\[4pt] Z_1 \cdot Z_2 = AC + jBC + jAD \textcolor{#c00000}{-} BD = AC \textcolor{#c00000}{-} BD + j(BC + AD) \end{gathered} \]

Le résultat est plutôt laid. Il est souvent plus agréable de convertir d’abord les nombres en forme exponentielle, puis de les multiplier. On a alors :

\[ \begin{gathered} Z_1 = P \cdot e^{jQ} \\[4pt] Z_2 = R \cdot e^{jS} \\[4pt] Z_1 \cdot Z_2 = P \cdot e^{jQ} \cdot R \cdot e^{jS} = P \cdot R \cdot e^{j(Q+S)} \end{gathered} \]

La division est semblable. Elle est la plus simple sous forme exponentielle :

\[ \begin{gathered} Z_1 = P \cdot e^{jQ} \\[4pt] Z_2 = R \cdot e^{jS} \\[4pt] \frac{Z_1}{Z_2} = \frac{P \cdot e^{jQ}}{R \cdot e^{jS}} = \frac{P}{R} \cdot e^{j(Q\textcolor{#c00000}{-}S)} \end{gathered} \]

En électrotechnique, pour calculer tensions et courants, nous devons résoudre des équations de mailles et de nœuds, des diviseurs de tension et de courant. Il nous faut pour cela les 4 opérations de base. Pour des tensions et courants complexes, choisissez la forme de représentation adaptée : l’addition et la soustraction se font sous forme algébrique, la multiplication et la division sont plus simples sous forme exponentielle.

Heureusement, votre calculatrice maîtrise toutes les opérations sous toutes les formes. Dans ce tutoriel et dans les corrigés des exercices, je choisirai toujours la forme de représentation adaptée pour les calculs détaillés.