Comportement proportionnel

Similitude

De nombreux systèmes techniques réels se comportent de façon semblable. Nous décrivons des systèmes semblables par la même formule, dans laquelle nous insérons d’autres paramètres. Un exemple est l’équation de droite : elle permet de calculer des systèmes très différents, en y insérant chaque fois les paramètres m et b adaptés. De façon générale, pour tous les systèmes linéaires :

\[ \begin{gathered} \text{Équation de droite générale : } y = m \cdot x + b \\[6pt] \text{Paramètres particuliers d’un exemple : } m = 1 \text{ et } b = 5 \\[6pt] \text{Équation de droite particulière : } y = x + 5 \end{gathered} \]

Quels systèmes peut-on calculer avec l’équation de droite ? Eh bien, tous les systèmes linéaires, puisque l’équation de droite est linéaire. Dans ce chapitre, nous cherchons, outre la linéarité, d’autres propriétés qui caractérisent le comportement des systèmes. Pour chacune, il existe une formule générale permettant de calculer tous les systèmes ayant ce comportement, avec des paramètres caractéristiques qui adaptent la formule générale à votre problème.

Fonction de transfert

La fonction de transfert indique comment une grandeur d’entrée est modifiée par un système ou un bloc fonctionnel. La grandeur de sortie diffère en général de la grandeur d’entrée. La fonction de transfert H décrit mathématiquement cette modification. H permet de reconnaître le type de comportement du système.

Bloc fonctionnel H avec entrée et sortie — Eingang = entrée · Ausgang = sortie

\[ \begin{gathered} \text{Description générale d’un bloc fonctionnel ou d’un système :} \\[6pt] \text{Sortie} = H \cdot \text{entrée} \\[6pt] H = \frac{\text{sortie}}{\text{entrée}} \end{gathered} \]

Proportionnalité

Nous commençons par le type de comportement le plus simple : le comportement proportionnel. Dans les systèmes à comportement proportionnel, la grandeur de sortie est proportionnelle à la grandeur d’entrée. En automatique, le comportement proportionnel est abrégé en « comportement P ». Pour un comportement proportionnel, la fonction de transfert H est une constante :

\[ \begin{gathered} \text{Si } H \text{ est une constante} \rightarrow \text{comportement proportionnel} \\[6pt] H = k_P \text{ avec } k_P\text{ : « constante de proportionnalité »} \\[6pt] \text{Sortie} = y \\[6pt] \text{Entrée} = x \\[6pt] y = k_P \cdot x \end{gathered} \]

Dans une boucle de régulation, nous représentons un bloc à comportement P par un carré portant en son centre la désignation k_P. On peut aussi y inscrire directement la valeur numérique de k_P.

L’équation entre sortie et entrée d’un système à comportement proportionnel est un cas particulier de l’équation de droite.

\[ \begin{gathered} \text{Équation de droite générale : } y = m \cdot x + b \\[6pt] \text{Comportement proportionnel : } y = m \cdot x \text{ avec } b = 0 \\[6pt] H = m = k_P \end{gathered} \]

La pente m correspond à la constante de proportionnalité k_P. Un système dont les grandeurs d’entrée et de sortie satisfont une équation de droite se comporte de façon linéaire. Un comportement linéaire avec b = 0 est appelé comportement proportionnel. Si l’on trace la grandeur de sortie en fonction de la grandeur d’entrée, on obtient par exemple pour k_P = 3 :

Comportement proportionnel : la sortie y croît linéairement avec l’entrée x (droite passant par l’origine) — Ausgang = sortie · Eingang = entrée

Si l’entrée est nulle, la sortie l’est aussi. Si la grandeur d’entrée augmente, la grandeur de sortie augmente aussi. C’est caractéristique du comportement proportionnel. Avec par exemple k_P = 3, la valeur de sortie est trois fois plus grande que la valeur d’entrée.

Du point de vue de l’automatique, un système proportionnel est entièrement décrit par le paramètre k_P. Pour modéliser un système à comportement P, vous définissez sa grandeur d’entrée x(t) et sa grandeur de sortie y(t). Le paramètre k_P correspond au quotient de la grandeur de sortie y par la grandeur d’entrée x. k_P correspond donc à la fonction de transfert H.

\[ \begin{gathered} y = k_P \cdot x \\[6pt] \text{Détermination de } k_P\text{ : déterminer un couple de valeurs } x_1 \text{ et } y_1 \\[6pt] k_P = H = \frac{y_1}{x_1} \end{gathered} \]

Après la définition générale, voyons quelques exemples.

Exemple : résistance

La relation entre tension et courant d’une résistance est proportionnelle. Si l’on définit la tension comme sortie et le courant comme entrée du bloc résistance, la valeur de résistance R constitue la constante de proportionnalité.

\[ \begin{gathered} \text{En général : sortie} = k_P \cdot \text{entrée} \\[6pt] \text{Exemple : } U = R \cdot I \\[6pt] \text{avec } H = k_P = R \end{gathered} \]

Comment déterminer k_P, c’est-à-dire R, pour la résistance ? En mesurant le courant pour une tension quelconque. Nous insérons ces valeurs dans l’équation générale et obtenons la valeur particulière de notre résistance R.

Exemple : réducteur

Un réducteur se comporte lui aussi de façon proportionnelle. L’entrée du réducteur est la vitesse de rotation N₁ de l’arbre 1, la sortie la vitesse N₂ de l’arbre 2.

Réducteur à roues Z1 et Z2 comme bloc de N1 vers N2 — Getriebe = réducteur

\[ \begin{gathered} \text{Entrée : } N_1;\ \text{sortie : } N_2 \\[6pt] N_2 = \frac{Z_1}{Z_2} \cdot N_1 \\[6pt] H = \frac{Z_1}{Z_2} = k_P \end{gathered} \]

Si l’arbre 1 ne tourne pas (grandeur d’entrée = 0), l’arbre 2 ne tourne pas non plus (grandeur de sortie = 0). Plus l’arbre 1 tourne vite, plus l’arbre 2 tourne vite. Comment déterminer k_P ? Soit en comptant les dents des roues concernées : on détermine alors k_P à partir de la structure interne du réducteur. Soit en faisant tourner l’entrée et en mesurant la vitesse à la sortie : on détermine alors k_P de l’extérieur, sans avoir à regarder à l’intérieur du réducteur.

Exemple : levier

Un autre système proportionnel est le levier. Les grandeurs d’entrée et de sortie sont les hauteurs des extrémités du levier. Si l’on modifie la hauteur h₁, entrée, la hauteur h₂, sortie, change aussi. Les longueurs des deux bras du levier déterminent la pente m, c’est-à-dire la fonction de transfert H du système.

Levier de longueurs l1 et l2 comme bloc de h1 vers h2 — Hebel = levier

\[ \begin{gathered} h_2 = \frac{l_2}{l_1} \cdot h_1 \\[6pt] H = k_P = \frac{l_2}{l_1} \end{gathered} \]

Supposons par exemple que les longueurs soient l₁ = 40 cm et l₂ = 30 cm : ce système peut alors être décrit par H = k_P = 30 cm / 40 cm = 0,75. Si l’entrée passe de h₁ = 0 cm à h₁ = 10 cm, la sortie suit de h₂ = 0 cm à h₂ = k_P ∙ 10 cm = 7,5 cm.

Exploiter la similitude

Résistance, levier et réducteur se comportent de façon semblable. Les trois systèmes peuvent être calculés avec les mêmes mathématiques ; ils sont donc traités de la même façon en automatique.

Nous investissons d’abord dans une solution générale pour tous les systèmes à comportement P. Elle contient le paramètre caractéristique k_P.

Nous considérons ensuite le système particulier et définissons ses grandeurs d’entrée et de sortie. Le paramètre caractéristique k_P est déterminé pour ce système, soit par mesure de l’entrée et de la sortie, soit à partir de grandeurs internes. Avec la grandeur d’entrée, la grandeur de sortie et le paramètre caractéristique, nous avons transposé la solution générale en une solution particulière d’un problème concret.

Interprétation de k_P

Un bloc à comportement P amplifie le signal d’entrée d’un facteur k_P. Le gain peut être supérieur à 1 : la valeur du signal de sortie est alors plus grande que celle du signal d’entrée. Il peut être égal à 1 : le signal n’est alors pas modifié par le bloc, sa valeur en sortie est égale à celle en entrée.

Le gain peut être compris entre 0 et 1 : le signal est alors atténué, sa valeur en sortie est plus petite qu’en entrée. Si le gain est nul, aucun signal n’est délivré en sortie. Si le gain est négatif, le signal est inversé : son signe change en plus de sa valeur numérique. La valeur de k_P a en général une unité, sauf si les grandeurs d’entrée et de sortie ont par hasard la même unité.

\[ \begin{gathered} |k_P| > 1\text{ : amplification} \\[6pt] k_P = 1\text{ : pas de modification du signal} \\[6pt] 0 < |k_P| < 1\text{ : atténuation} \\[6pt] k_P = 0\text{ : signal de sortie} = 0 \\[6pt] k_P < 0\text{ : inversion supplémentaire} \end{gathered} \]