Modèle hydraulique
Le chapitre « Modèle hydraulique » n’est pas au programme de l’examen. J’espère qu’il aidera à la compréhension. Si vous voulez seulement préparer rapidement le cours, sautez ce chapitre.
Effet de filtrage d’un radiateur
Il existe un bon exemple de la vie courante qui illustre l’effet d’un filtre. Prenons un radiateur ordinaire équipé d’un robinet rotatif que l’on ouvre et ferme à la main. Quand on l’ouvre, le radiateur chauffe. L’entrée du système est le robinet ; la sortie est la température du radiateur.
Si vous ouvrez complètement le radiateur puis le refermez complètement une fois par seconde, comment sa température évolue-t-elle ? Pas du tout. Des variations aussi rapides, à 1 Hz, au niveau du robinet ne font pas varier la température du radiateur aussi vite. Si vous ouvrez complètement le même robinet toutes les demi-heures et le refermez une demi-heure plus tard, la température du radiateur varie : il devient alternativement chaud et froid.
Une variation rapide de la grandeur d’entrée (position du robinet) n’entraîne pas de variation de la grandeur de sortie (température). Les signaux rapides, ou de haute fréquence, à l’entrée ne sont pas visibles à la sortie. Une variation lente, ou de basse fréquence, toutes les demi-heures à l’entrée est visible à la sortie. Un radiateur constitue donc un filtre, car il transmet les variations de la grandeur d’entrée à la grandeur de sortie plus ou moins fortement selon la fréquence du signal.
La suite de ce chapitre n’est pas au programme de l’examen. On y tente d’expliquer de façon intuitive l’effet des filtres à l’aide du modèle hydraulique. Si vous voulez seulement préparer le cours avec peu d’effort, laissez simplement de côté tout le reste de « Comprendre les filtres ».
Modèle hydraulique du filtre
De nombreuses relations électrotechniques entre tension et courant peuvent être visualisées avec le modèle hydraulique. Certains étudiants trouvent toutefois peu utile l’explication des filtres par ce modèle. Si vous constatez que le modèle hydraulique ne vous aide pas, sautez simplement ce chapitre.
Pour expliquer de façon intuitive le fonctionnement des filtres, nous reprenons le modèle hydraulique des bases de l’électrotechnique. Si ce cours remonte à longtemps pour vous, prenez le temps de relire ce chapitre. Nous montrons l’effet des filtres sur le modèle hydraulique ; vous le comprendrez ensuite aussi pour les filtres électriques.
Considérons des signaux alternatifs dans le modèle hydraulique. Pour reproduire des capteurs, il nous faut des sources de tension alternative, donc une source d’eau dont la valeur de sortie varie de façon sinusoïdale. Dans le modèle hydraulique, c’est un immense lac dont la hauteur varie de façon sinusoïdale. Nous ne considérons pas de tensions négatives, donc pas de hauteurs négatives dans le modèle hydraulique : ce serait trop compliqué. Une source dont la hauteur varie dans le temps peut être représentée ainsi :
Pour éviter les hauteurs négatives, nous posons hMin = 0 m. La hauteur de l’eau est l’analogue de la tension en électrotechnique. Plus le lac est dessiné haut, plus la tension de la source électrique qu’il représente est élevée. Un filtre électrique peut aussi recevoir des tensions négatives.
Les filtres se composent toujours d’une combinaison d’éléments limitants, comme des résistances, et d’éléments de stockage dans une même partie de montage. Dans le modèle hydraulique, un tuyau représente une résistance ohmique. La résistance augmente quand le diamètre du tuyau diminue. La pente du tuyau représente la tension aux bornes de la résistance. Le débit d’eau (courant) dans le tuyau est déterminé par sa pente et son diamètre.
Le seau est l’élément de stockage du modèle hydraulique. Pour un seau, le niveau de remplissage est la tension et le débit entrant/sortant est le courant.
Modélisation d’un filtre
On place un tuyau entre une source et un seau. La hauteur de la source est variable. Celle du seau ne l’est pas, mais son niveau de remplissage peut changer de hauteur. Une extrémité du tuyau est fixée à la source : quand la source change de hauteur, cette extrémité monte et descend avec elle. L’autre extrémité est fixée au seau ; elle flotte sur l’eau et change toujours de hauteur avec le niveau du seau. Les deux extrémités du tuyau peuvent donc changer de hauteur.
Les figures suivantes montrent plusieurs combinaisons de niveau du seau et de hauteur de la source. Ce qui compte à chaque fois, c’est le sens d’écoulement de l’eau et la différence de hauteur aux extrémités du tuyau. Nous en déduisons la vitesse de remplissage et de vidage du seau.
En haut à gauche, le seau à moitié plein est rempli par une source dont la hauteur dépasse le niveau du seau : de l’eau supplémentaire s’écoule de la source vers le seau. En bas à gauche, le seau est également à moitié plein, mais la source est plus basse que son niveau : l’eau s’écoule du seau vers la source. En haut à droite, le niveau du seau et la source sont à la même hauteur : aucune eau ne s’écoule. Cet état peut être atteint à n’importe quelle hauteur.
Le débit d’eau de la source vers le seau (ou inversement) est limité dans ce système. Il est maximal en bas à droite et dirigé vers le seau. Pour cela, la source doit être à sa hauteur maximale et le seau complètement vide. Il ne peut pas passer plus d’eau par le tuyau que dans ce cas. La vitesse d’entrée et de sortie de l’eau détermine la rapidité de variation du niveau du seau. Elle est fixée par la pente et le diamètre du tuyau.
Sur les dessins, la paroi droite du seau gêne. Elle se déplace simplement toujours de façon que l’eau puisse s’écouler : quand le niveau du seau baisse, la paroi descend un peu plus pour qu’il puisse continuer à baisser. Cette paroi ne gêne donc jamais. L’analogie hydraulique n’est pas parfaite pour les filtres ; elle nécessite malheureusement cet artifice peu élégant.
Pour produire un signal alternatif, on fait maintenant monter et descendre la source de façon sinusoïdale. L’intensité et le sens du débit vers le seau changent ainsi en permanence, ce qui modifie constamment le niveau du seau.
Le niveau du seau suit la hauteur de la source ; les deux sont couplés par le tuyau. Source, tuyau et seau forment un montage en série.
Influence sur le filtre
Nous pouvons influer sur la valeur de crête du niveau du seau par trois paramètres. Par la pensée, nous modifions toujours un seul paramètre en gardant les deux autres inchangés.
1. Diamètre du tuyau : si l’on remplit un seau avec une paille de très petit diamètre, cela prend longtemps. Le niveau du seau varie plus lentement qu’avec un tuyau de grand diamètre.
2. Surface de base du seau : si l’on remplit une piscine au lieu du seau, le niveau varie moins. Là encore, le niveau varie plus lentement pour un seau de plus grande surface de base.
3. Fréquence : si l’on fait varier plus vite la hauteur de la source, on augmente la fréquence du signal de la source. On dispose alors de moins de temps pour remplir et vider le seau. Par demi-onde sinusoïdale, il passe moins d’eau dans le tuyau qu’avec un mouvement lent. Cela tient à la limitation du débit maximal par le diamètre du tuyau.
Si le tuyau est fin et la surface du seau grande, le niveau du seau ne suit plus à fréquence sinusoïdale élevée. Le seau n’est plus complètement vidé ni rempli. Le niveau du seau est en retard sur la hauteur de la source. Cet effet est exploité pour le filtrage ; c’est l’objet de ce chapitre.
Commençons avec une fréquence faible, un grand diamètre de tuyau et une petite surface de seau. Nous remplissons donc très lentement un minuscule dé à coudre par une énorme conduite d’égout. Le débit maximal possible est bien plus grand que le débit nécessaire pour maintenir en permanence le niveau du seau à la hauteur de la source. Le niveau du seau varie donc pratiquement sans retard dès que la hauteur de la source change.
La valeur de crête du mouvement de la source est choisie de façon que le seau soit toujours complètement rempli et complètement vidé. La hauteur de source « Max » est donc suffisante pour remplir complètement le seau ; la hauteur « Min » correspond à la hauteur du fond du seau. L’évolution dans le temps du remplissage et du vidage se présente ainsi :
Prenons maintenant une paille plus fine comme tuyau, un seau beaucoup plus grand, et faisons monter et descendre la source plus vite. Le débit maximal possible est maintenant plus petit que le débit qui serait nécessaire pour maintenir en permanence le niveau du seau à la hauteur de la source. Le niveau du seau n’atteint donc plus les valeurs extrêmes plein et vide. Il suit la hauteur de la source avec un décalage temporel. L’évolution se présente alors à peu près ainsi :
Nous obtenons un déphasage entre la hauteur de la source et le niveau du seau. La valeur de crête du niveau du seau est plus faible que celle de la hauteur de la source. Pour renforcer encore cet effet, on réduit la section du tuyau, on augmente la surface du seau ou on augmente la fréquence de la sinusoïde de la source.
Plus la hauteur de la source varie vite, moins le niveau du seau varie. Nous avons ainsi déjà construit un filtre. La grandeur d’entrée du filtre est la hauteur de la source ; la grandeur de sortie est le niveau du seau. Le filtre agit différemment sur les signaux selon leur fréquence : plus la fréquence des signaux à l’entrée est élevée, plus la valeur de crête des signaux à la sortie du filtre est faible.
Signal utile et signal parasite
Imaginez que la source contienne deux signaux : un signal utile de basse fréquence et un signal parasite de haute fréquence. La source monte et descend lentement avec le signal utile, de fréquence fNutz et de valeur de crête hNutz. Ce mouvement est superposé à un mouvement rapide de fréquence fStör et de valeur de crête hStör, celui du signal parasite. La hauteur constante hMittel est nécessaire dans la formule pour que la hauteur oscille comme un signal alternatif autour de la hauteur moyenne (Nutz = utile, Stör = parasite, Mittel = moyen).
Le niveau du seau suit complètement le signal utile lent. Comme la hauteur de la source varie lentement, beaucoup d’eau est déplacée. Le tuyau est assez gros pour modifier le niveau du seau avec cette eau, car la surface du seau est petite par rapport à la quantité d’eau déplacée.
Le signal parasite rapide doit passer par le même tuyau et remplir le même seau. Mais à haute fréquence, beaucoup moins d’eau est déplacée. Le tuyau est trop fin pour modifier sensiblement le niveau avec cette faible quantité d’eau, vu la grande surface du seau. C’est pourquoi le signal parasite est moins visible dans le niveau du seau que dans la hauteur de la source.
Par le diamètre du tuyau et la surface du seau, nous pouvons fixer jusqu’à quelle fréquence les signaux de la source doivent encore être entièrement visibles dans le niveau du seau. Si nous connaissons les fréquences du signal parasite et du signal utile, nous pouvons donc adapter le seau et le tuyau en conséquence. C’est ainsi que l’on construit des filtres. Une fois le filtre construit, le diamètre du tuyau et la surface du seau sont des paramètres fixes. Seule la fréquence à laquelle varie la hauteur de la source change alors avec les signaux appliqués.
Considérons un schéma fonctionnel du dispositif. La hauteur de la source est la grandeur d’entrée, le niveau du seau la grandeur de sortie. Nous définissons pour le filtre une fonction de transfert, qui contient les mathématiques des filtres que nous examinerons ensuite (Quelle = source, Eimer = seau).
