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Excitation sinusoïdale

Pour étudier le comportement temporel des réservoirs, nous avons besoin de signaux variables dans le temps. Les signaux sinusoïdaux s’imposent en électrotechnique, car les courants alternatifs sont eux aussi sinusoïdaux. Nous faisons donc varier l’arrivée et l’écoulement de façon sinusoïdale dans le temps. Pendant l’alternance positive du sinus, seule l’arrivée est ouverte ; l’écoulement est fermé. Plus la valeur instantanée du sinus est élevée, plus le robinet d’arrivée est ouvert. Pendant l’alternance négative, l’arrivée est fermée et l’écoulement est d’autant plus ouvert que la valeur instantanée s’approche de la valeur de crête négative.

Débit sinusoïdal v̇(t) : arrivée et écoulement — Zulauf = arrivée · Ablauf = écoulement

Le graphique montre une arrivée et un écoulement d’eau sinusoïdaux dans le seau. Examinons d’abord le niveau du seau. Le niveau atteint son maximum au moment où l’arrivée vient d’être refermée. Tant que de l’eau arrive encore, le niveau continue de monter. Le minimum est atteint lorsque l’écoulement vient d’être entièrement fermé.

Débit sinusoïdal v̇(t) et hauteur de remplissage h(t) résultante — Zulauf = arrivée · Leer = vide · Ablauf = écoulement · Voll = plein · Halb = à moitié

On voit clairement que l’évolution du niveau est décalée dans le temps par rapport à l’arrivée. Le décalage vaut un quart de la période du sinus. Vous recevrez d’autres explications à ce sujet dans le thème du courant alternatif ; les termes ne sont pas encore importants ici.

Pour une arrivée et un écoulement d’eau sinusoïdaux, on obtient (par souci d’exhaustivité) la description mathématique suivante : l’arrivée d’eau peut s’écrire

\[ \dot{v}(t) = \dot{v}_{\max} \cdot \sin(\omega t) \]

Pour les grandeurs alternatives, j’omets la valeur initiale du niveau. Le niveau h suit alors l’équation

\[ h(t) = \frac{1}{A} \int \dot{v}(t)\,dt = \frac{1}{A} \int \left[\dot{v}_{\max} \cdot \sin(\omega t)\right] dt \]