Électrotechnique ETR › Calcul complexe en courant alternatif

Intégrale et dérivée

Calculer avec des sinus et des cosinus dans le domaine temporel est particulièrement désagréable lorsque des signaux doivent être intégrés ou dérivés par rapport au temps. C’est toujours le cas avec des accumulateurs dans un circuit, voir le chapitre Calculer avec des réservoirs.

Ici aussi, la transformée de Laplace simplifie nettement les mathématiques : une intégration par rapport au temps dans le domaine temporel correspond, dans le domaine fréquentiel, à une division par le terme jω. Une dérivation par rapport au temps dans le domaine temporel correspond, dans le domaine fréquentiel, à une multiplication par le terme jω.

Pour la tension et le courant du condensateur, la formule dans le domaine temporel (avec u_C0 = 0 V) s’écrit

\[ \begin{gathered} u_C(t) = \frac{1}{C} \int i_C(t)\,dt \\[6pt] u_C(\omega) = \frac{1}{C} \cdot \frac{1}{j\omega} \cdot i_C(\omega) = \frac{1}{j\omega C} \cdot i_C(\omega) \end{gathered} \]

Pour la bobine, nous pouvons aussi simplifier la relation entre tension et courant :

\[ \begin{gathered} u_L(t) = L \cdot \frac{di(t)}{dt} \\[6pt] u_L(\omega) = L \cdot j\omega \cdot i_L(\omega) = j\omega L \cdot i_L(\omega) \end{gathered} \]

Vérifions la validité de la simplification sur une formule dont nous connaissons déjà le résultat. Pour un condensateur soumis à une tension alternative, on a dans le domaine temporel :

\[ \begin{gathered} u(t) = \hat{u} \sin(\omega t) \\[4pt] i(t) = C \frac{du(t)}{dt} \\[4pt] i(t) = C \frac{du(t)}{dt} = C \frac{d(\hat{u} \sin(\omega t))}{dt} = \omega C \cdot \hat{u} \cdot \cos(\omega t) = \omega C \cdot \hat{u} \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) \end{gathered} \]

La dérivée de sin(ax) est a ∙ cos(ax). Il faut pour cela la règle de dérivation des fonctions composées, avec la dérivée intérieure. Le cosinus peut s’exprimer comme un sinus décalé de π/2. Le décalage de π/2 correspond à une multiplication par j. On a donc

\[ \begin{gathered} i(t) = \omega C \cdot \hat{u} \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) = \omega C \cdot \hat{u} \cdot j \cdot \sin(\omega t) = j\omega C \cdot u(t) \\[6pt] i(t) = C \frac{du}{dt} = C \cdot j\omega \cdot u(t) \end{gathered} \]

La dérivée temporelle montre que le calcul supposé précédemment est juste.

Attention : j’ai mélangé ici domaine temporel et domaine fréquentiel. En réalité, le j n’existe pas dans le domaine temporel. Cette démarche un peu approximative permet néanmoins de montrer que les simplifications pour la dérivation et l’intégration sont justes. Si vous montrez cela à un mathématicien, il s’arrachera les yeux, mais ça marche. Vous pouvez tenter vous-même la démonstration pour l’intégration.