Métrologie › Filtres, partie 2 › Types de filtres

Filtre passe-bas

Un filtre passe-bas est décrit mathématiquement par

\[ |H(\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega/\omega_g)^2}} \]

Les montages électriques qui se comportent selon cette formule ont une caractéristique passe-bas. Vous avez déjà vu au chapitre précédent un filtre passe-bas passif formé d’une résistance et d’un condensateur. Un filtre passif ne peut que réduire les valeurs de crête, pas les augmenter. Les filtres actifs peuvent amplifier et atténuer les signaux.

Le montage suivant associe un amplificateur inverseur à AOP et un filtre passe-bas. Jusqu’ici, nous n’avons considéré que des résistances dans les montages à AOP. Mais pour les filtres, il nous faut des éléments de stockage. C’est pourquoi nous considérons de nouveau, au lieu des résistances, des impédances complexes ou des réactances. Vous connaissez déjà le principe : d’abord l’étude avec les impédances pour l’ETR, puis avec les réactances pour BMT / UFC. On a :

Passe-bas actif : amplificateur inverseur avec condensateur C en parallèle sur R_2

\[ \begin{gathered} \text{Étude avec les impédances :} \\[6pt] \underline{H}(\omega) = -\frac{\underline{Z}_2}{\underline{Z}_1} = -\frac{\underline{Z}_{R2} \parallel \underline{Z}_C}{\underline{Z}_{R1}} \\[6pt] \text{avec } \underline{Z}_{R2} = R_2,\ \underline{Z}_{R1} = R_1 \text{ et } \underline{Z}_C = \frac{1}{j\omega C} \text{ :} \\[6pt] \underline{Z}_{R2} \parallel \underline{Z}_C = \frac{R_2 \cdot \frac{1}{j\omega C}}{R_2 + \frac{1}{j\omega C}} = \frac{R_2}{1 + j\omega R_2 C} \\[6pt] \underline{H}(\omega) = -\frac{\underline{Z}_2}{\underline{Z}_1} = -\frac{\frac{R_2}{1 + j\omega R_2 C}}{R_1} = -\frac{R_2}{R_1(1 + j\omega R_2 C)} = -\frac{R_2}{R_1} \cdot \left(\frac{1}{1 + j\omega R_2 C}\right) \\[6pt] \underline{H}(\omega) = \underbrace{-\frac{R_2}{R_1}}_{\text{gain } v} \cdot \underbrace{\left(\frac{1}{1 + j\omega R_2 C}\right)}_{\text{filtre}} = v \cdot \left(\frac{1}{1 + j\omega/\omega_g}\right) \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} \text{Étude avec les réactances :} \\[6pt] |H| = -\frac{X_2}{X_1} = -\frac{R_2 \parallel X_C}{R_1} \\[6pt] \text{avec } X_C = \frac{1}{\omega C} \text{ :} \\[6pt] R_2 \parallel X_C = \frac{R_2 \cdot \frac{1}{\omega C}}{\sqrt{(R_2)^2 + \left(\frac{1}{\omega C}\right)^2}} = \frac{R_2}{\sqrt{(R_2 \cdot \omega C)^2 + 1}} = \frac{R_2}{\sqrt{1 + (\omega R_2 C)^2}} \\[6pt] H(\omega) = -\frac{X_2}{X_1} = -\frac{\frac{R_2}{\sqrt{(\omega R_2 C)^2 + 1}}}{R_1} = -\frac{R_2}{R_1} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega R_2 C)^2}} = -\frac{R_2}{R_1} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega/\omega_g)^2}} \text{ avec } \omega_g = \frac{1}{R_2 C} \\[6pt] H(\omega) = \underbrace{-\frac{R_2}{R_1}}_{\text{gain } v} \cdot \underbrace{\frac{1}{\sqrt{1 + (\omega R_2 C)^2}}}_{\text{filtre}} = v \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega/\omega_g)^2}} \end{gathered} \]

La fonction de transfert se compose du terme de gain de l’amplificateur inverseur classique, multiplié par la fonction de transfert d’un passe-bas.

Le gain v est fixé par les deux résistances. La fréquence de coupure est déterminée par les composants placés entre la sortie de l’AOP et l’entrée inverseuse : R₂ et C. Pour le montage ci-dessus :

\[ \begin{gathered} v = -\frac{R_2}{R_1},\quad \omega_g = \frac{1}{R_2 C} \\[6pt] H(\omega) = v \cdot H_{\mathrm{Filter}}(\omega) \end{gathered} \]

Exemple

Un signal de capteur se compose d’une partie utile (dépendant de la grandeur physique) et d’une partie parasite. On a (Nutz = utile, Stör = parasite) :

\[ \begin{gathered} u_{\mathrm{Sensor}} = u_{\mathrm{Nutz}} + u_{\mathrm{Stör}} \\[6pt] u_{\mathrm{Nutz}}(t) = 10\,\mathrm{mV} \cdot \sin(\omega_{\mathrm{Nutz}} \cdot t),\quad \omega_{\mathrm{Nutz}} = 100\,\tfrac{1}{\mathrm{s}} \\[6pt] u_{\mathrm{Nutz}} = [-10\,\mathrm{mV} \ldots 10\,\mathrm{mV}] \\[6pt] u_{\mathrm{Stör}}(t) = 1\,\mathrm{mV} \cdot \sin(\omega_{\mathrm{Stör}} \cdot t),\quad \omega_{\mathrm{Stör}} = 100\mathrm{k}\,\tfrac{1}{\mathrm{s}} \\[6pt] \text{Objectif : } u_{\mathrm{Aus,OP}} = [-3\,\mathrm{V} \ldots 3\,\mathrm{V}] \end{gathered} \]

Spectre : signal utile à 100 1/s avec 10 mV, signal parasite à 100k 1/s avec 1 mV — Nutz = utile

Dans les exercices de filtrage, nous ignorons le décalage des signaux ; nous ne considérons que l’amplification et le filtrage. Cela réduit la complexité et facilite le calcul de problèmes réels. Nous simplifions encore : seul le module du gain est considéré, sans le signe ni le déphasage lié à j.

Énoncé : Dessinez et dimensionnez un montage qui fait correspondre au mieux le signal utile à la plage de tension visée et atténue le plus possible la perturbation. Prenez R₂ = 300 kΩ.

Solution : Calculons d’abord le gain nécessaire. Avec v = +300 ou v = −300, la plage de la tension utile correspond correctement à celle de la tension de sortie : en multipliant les deux bornes du signal utile par ces facteurs, on obtient chaque fois les bornes du signal de sortie. Deux solutions sont possibles. Comme les filtres de ce tutoriel sont toujours réalisés avec des amplificateurs inverseurs, nous choisissons v = −300.

Nous plaçons la fréquence de coupure 10 fois plus haut que la fréquence utile, à ω_g = 1k 1/s.

Nous réalisons cette fonction mathématique avec le montage de filtrage suivant :

Passe-bas actif avec R_1, R_2 et C — Aus = sortie

\[ \begin{gathered} v = -\frac{R_2}{R_1} = -300;\quad R_1 = \frac{R_2}{300} = \frac{300\,\mathrm{k\Omega}}{300} = 1\,\mathrm{k\Omega} \\[6pt] \omega_g = \frac{1}{R_2 C} = 1\mathrm{k}\,\frac{1}{\mathrm{s}};\quad C = \frac{1}{R_2 \omega_g} = \frac{1}{300\,\mathrm{k\Omega} \cdot 1\mathrm{k}\,\frac{1}{\mathrm{s}}} = 3{,}33\,\mathrm{nF} \\[6pt] |H| = -\frac{R_2}{R_1} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{\omega}{\omega_g}\right)^2}} = v \cdot |H_{\mathrm{Filter}}| \end{gathered} \]

Simulation

Le rapport des résistances donne le gain. Les composants placés en contre-réaction sur l’AOP donnent la fréquence de coupure.

Le gain ou l’atténuation des deux signaux peut être calculé à partir de la fonction de transfert. On peut aussi – bien plus simplement – le lire sur le diagramme de Bode.

Calcul de la fonction de transfert

La fonction de transfert se compose du filtrage et de l’amplification.

\[ \begin{gathered} |H(\omega)| = \left|v \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega/\omega_g)^2}}\right| = \left|-300 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{1 + \left(\omega/(1\mathrm{k}\,\frac{1}{\mathrm{s}})\right)^2}}\right)\right| \\[6pt] |H(\omega_{\mathrm{Nutz}})| = \left|-300 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{100\,1/\mathrm{s}}{1\mathrm{k}\,1/\mathrm{s}}\right)^2}}\right)\right| = \left|-300 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{1 + (0{,}1)^2}}\right)\right| \approx |-300 \cdot 1| = 300 \\[6pt] |H(\omega_{\mathrm{Stör}})| = \left|-300 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{100\mathrm{k}\,1/\mathrm{s}}{1\mathrm{k}\,1/\mathrm{s}}\right)^2}}\right)\right| = \left|-300 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{1 + (100)^2}}\right)\right| \approx \left|-300 \cdot \frac{1}{100}\right| = 3 \end{gathered} \]

Le calcul est possible, mais mathématiquement laborieux. Vous lisez le gain bien plus facilement sur le diagramme de Bode. À l’examen, vous n’avez pas besoin de calculer : la lecture suffit toujours. Personne ne s’inflige ce calcul de son plein gré…

Lire le gain sur le diagramme de Bode

Pour tous les signaux, v = −300. Selon sa fréquence, chaque signal est en outre multiplié par un facteur de filtrage. Reprenons l’exemple numérique ci-dessus. La figure suivante montre le diagramme de Bode réunissant amplification et filtrage :

Diagramme de Bode du passe-bas actif : gain 300 dans la bande passante, 3 pour le signal parasite — Nutz = utile

\[ \begin{gathered} |H(\omega_{\mathrm{Nutz}})| = 300 \\[6pt] |H(\omega_{\mathrm{Stör}})| = 3 \end{gathered} \]

Une fois le diagramme de Bode tracé, vous lisez les valeurs très facilement. Tout l’art consiste donc à tracer le diagramme de Bode d’un filtre. Pour cela, vous prenez le gain de base dans la bande passante et réduisez ce gain dans la zone d’atténuation. Le gain de base dans la bande passante vaut 1 pour les filtres passifs sans AOP et −R₂/R₁ pour les filtres à AOP. Comme nous considérons des modules, le signe moins disparaît.

Rapport signal sur bruit

Une mesure importante pour évaluer un filtre est le rapport signal sur bruit (rapport signal/perturbation). Il décrit dans quelle mesure un signal utile est affecté par une perturbation. Mathématiquement, il indique de quel facteur la valeur de crête du signal utile dépasse celle du signal parasite. Une grande valeur est donc bonne. On l’obtient à partir du module du rapport des valeurs de crête. Reprenons l’exemple ci-dessus :

\[ \begin{gathered} u_{\mathrm{Nutz}}(t) = 10\,\mathrm{mV} \cdot \sin(\omega t) \rightarrow u_{\mathrm{Nutz}}(\omega) = 10\,\mathrm{mV} \\[6pt] u_{\mathrm{Stör}}(t) = 1\,\mathrm{mV} \cdot \sin(\omega t) \rightarrow u_{\mathrm{Stör}}(\omega) = 1\,\mathrm{mV} \\[6pt] u_{\mathrm{Sensor}}(\omega) = u_{\mathrm{Nutz}}(\omega) + u_{\mathrm{Stör}}(\omega) \end{gathered} \]

À la sortie de l’AOP, on a :

\[ \begin{gathered} u_{\mathrm{Aus,OP}}(\omega) = H(\omega) \cdot u_{\mathrm{Sensor}}(\omega) \\[6pt] H(\omega) = v \cdot H_{\mathrm{Filter}}(\omega) \\[6pt] H(\omega_{\mathrm{Nutz}}) = 300 \\[6pt] H(\omega_{\mathrm{Stör}}) = 3 \\[6pt] u_{\mathrm{Aus,OP,Nutz}}(\omega) = H(\omega_{\mathrm{Nutz}}) \cdot u_{\mathrm{Nutz}}(\omega) = 300 \cdot 10\,\mathrm{mV} = 3\,\mathrm{V} \\[6pt] u_{\mathrm{Aus,OP,Stör}}(\omega) = H(\omega_{\mathrm{Stör}}) \cdot u_{\mathrm{Stör}}(\omega) = 3 \cdot 1\,\mathrm{mV} = 3\,\mathrm{mV} \end{gathered} \]

La forme complexe du signal en fonction de ω donne directement la valeur de crête. 1 mV de valeur de crête parasite devient 3 mV à la sortie de l’AOP ; 10 mV de valeur de crête utile deviennent 3 V. Le signal utile est bien plus amplifié que le signal parasite. Nous pouvons calculer le rapport signal sur bruit (SSA dans les formules, de l’allemand « Signal-Störabstand ») dans la tension du capteur et à la sortie de l’AOP pour évaluer l’efficacité du montage :

\[ \begin{gathered} \mathrm{SSA}_{\mathrm{Sensor}} = \frac{|\hat{u}_{\mathrm{Nutz}}(\omega_{\mathrm{Nutz}})|}{|\hat{u}_{\mathrm{Stör}}(\omega_{\mathrm{Stör}})|} = \frac{10\,\mathrm{mV}}{1\,\mathrm{mV}} = 10 \\[6pt] \mathrm{SSA}_{\mathrm{Ausgang\ OP}} = \frac{|\hat{u}_{\mathrm{Aus,OP,Nutz}}(\omega)|}{|\hat{u}_{\mathrm{Aus,OP,Stör}}(\omega)|} = \frac{3\,\mathrm{V}}{3\,\mathrm{mV}} = 1000 \end{gathered} \]

Le montage multiplie par 100 l’« écart » entre signal utile et signal parasite. Une telle « réjection des perturbations » d’un facteur 100, vue dans le temps, se présente ainsi :

Tension du capteur avec perturbation superposée, et tension de sortie de l’AOP filtrée et amplifiée entre −3 V et 3 V — Sensorspannung = tension du capteur · Ausgangsspannung = tension de sortie

Les filtres passe-bas peuvent aussi être réalisés avec des bobines comme éléments de stockage. En métrologie, on préfère les condensateurs dans les montages à AOP, car ils ne perturbent pas le reste du montage par des champs de fuite et sont nettement moins chers et plus petits que les bobines.

Les filtres passe-bas passifs ne sont constitués que de composants passifs – bobines, condensateurs et résistances. Ils ne peuvent qu’atténuer l’amplitude des signaux ou les laisser passer. Si un signal doit être amplifié en même temps, il faut utiliser des filtres actifs à AOP. Si un signal doit de toute façon être amplifié, il est très simple de le filtrer en plus : il suffit d’ajouter un condensateur.

Attention : la fréquence de coupure et le gain ne dépendent pas de la structure du montage. Vous réglez ces paramètres par les composants. C’est pourquoi le gain et la fréquence de coupure des deux montages ne sont que des valeurs d’exemple.

Remarque : La détermination du rapport signal sur bruit est souvent un exercice d’examen qui rapporte beaucoup de points.