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Filtre passe-bande

Un filtre passe-bande combine les comportements passe-haut et passe-bas. Autour de la fréquence utile, il amplifie avec |H(ω)| = 1. Le filtre passe-bande a deux fréquences de coupure : la fréquence de coupure inférieure est celle du passe-haut, la supérieure celle du passe-bas. On utilise un passe-bande quand le signal utile contient des perturbations de haute et de basse fréquence.

Prenons l’exemple suivant (Nutz = utile, Stör = parasite) :

Spectre : signal parasite à 1 1/s, signal utile à 1k 1/s, signal parasite à 1M 1/s — Nutz = utile · Stör = perturbation

\[ \begin{gathered} u_{\mathrm{Sensor}} = u_{\mathrm{Nutz}} + u_{\mathrm{Stör},1} + u_{\mathrm{Stör},2} \\[6pt] u_{\mathrm{Nutz}}(t) = 100\,\mathrm{mV} \cdot \sin(\omega_{\mathrm{Nutz}} t);\ \hat{u}_{\mathrm{Nutz}} = 100\,\mathrm{mV};\ \omega_{\mathrm{Nutz}} = 1\mathrm{k}\,\tfrac{1}{\mathrm{s}} \\[6pt] u_{\mathrm{Stör},1}(t) = 10\,\mathrm{mV} \cdot \sin(\omega_{\mathrm{Stör},1} t);\ \hat{u}_{\mathrm{Stör},1} = 10\,\mathrm{mV};\ \omega_{\mathrm{Stör},1} = 1\,\tfrac{1}{\mathrm{s}} \\[6pt] u_{\mathrm{Stör},2}(t) = 10\,\mathrm{mV} \cdot \sin(\omega_{\mathrm{Stör},2} t);\ \hat{u}_{\mathrm{Stör},2} = 10\,\mathrm{mV};\ \omega_{\mathrm{Stör},2} = 1\mathrm{M}\,\tfrac{1}{\mathrm{s}} \end{gathered} \]

Les deux signaux parasites doivent être atténués le plus possible par le filtre. Autour du signal utile, le filtre doit laisser passer le signal inchangé avec |H| = 1. Plus nous éloignons les fréquences de coupure des fréquences parasites, mieux le filtre atténue les signaux parasites.

Pour l’atténuation, il serait avantageux de placer les fréquences de coupure aussi près que possible de la fréquence utile. Pour que le signal utile ne soit pas affecté par les filtres, nous gardons de nouveau un écart minimal d’un facteur 10 entre la fréquence utile et les fréquences des filtres. Nous plaçons donc une zone avec |H| = 1 entre 100 1/s et 10k 1/s. À droite de cette zone agit le passe-bas, à gauche le passe-haut. La figure suivante montre le comportement du filtre souhaité (HP = passe-haut, TP = passe-bas) :

Passe-bande souhaité : montée jusqu’à ω_g,HP, bande passante jusqu’à ω_g,TP, puis décroissance — Nutz = utile · Stör = perturbation

\[ \begin{gathered} \omega_{g,\mathrm{HP}} = 0{,}1 \cdot \omega_{\mathrm{Nutz}} = 100\,\frac{1}{\mathrm{s}} \\[6pt] \omega_{g,\mathrm{TP}} = 10 \cdot \omega_{\mathrm{Nutz}} = 10\mathrm{k}\,\frac{1}{\mathrm{s}} \end{gathered} \]

Le passe-haut et le passe-bas agissent chacun sur toutes les fréquences. Le passe-haut n’atténue que les signaux de fréquence située à gauche de sa fréquence de coupure ω_g,HP = 100 1/s ; les signaux à droite de cette fréquence le traversent tous sans modification avec |H| = 1. Les signaux à droite de la fréquence de coupure du passe-bas ω_g,TP = 10k 1/s sont atténués par le passe-bas, qui laisse en revanche passer sans modification tous les signaux de fréquence inférieure. Les filtres ne s’influencent donc pas mutuellement.

Réalisation

Les filtres peuvent être montés en cascade. Un passe-haut et un passe-bas peuvent être associés pour former un passe-bande. Chaque fois que l’on relie deux parties de montage, il se pose un problème d’adaptation. On peut obtenir l’adaptation en branchant un filtre passif à la sortie de l’amplificateur opérationnel d’un filtre actif. Je montre comme exemple un passe-bas actif suivi d’un passe-haut passif. Les fonctions de transfert des sous-montages sont déjà connues.

Passe-bas actif suivi d’un passe-haut RC passif formé de C_3 et R_3 — Aus = sortie · Ein = entrée

\[ \begin{gathered} |H_{\mathrm{OP}}(\omega)| = \left|\frac{u_{\mathrm{Aus,OP}}}{u_{\mathrm{Ein}}}\right| = \left|-\frac{R_2}{R_1}\right| \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{1 + \omega^2/\omega_{g,\mathrm{TP}}^2}}\right) \text{ avec } \omega_{g,\mathrm{TP}} = \frac{1}{R_2 C_2} \\[6pt] |H_{\mathrm{Hochpass}}| = \left|\frac{u_{\mathrm{Aus}}}{u_{\mathrm{Aus,OP}}}\right| = \frac{\omega/\omega_{g,\mathrm{HP}}}{\sqrt{1 + \omega^2/\omega_{g,\mathrm{HP}}^2}} \text{ avec } \omega_{g,\mathrm{HP}} = \frac{1}{R_3 C_3} \\[6pt] |H_{\mathrm{Schaltung}}| = |H_{\mathrm{OP}}| \cdot |H_{\mathrm{Hochpass}}| = \underbrace{\left|-\frac{R_2}{R_1}\right|}_{v} \cdot \underbrace{\left(\frac{1}{\sqrt{1 + \omega^2/\omega_{g,\mathrm{TP}}^2}}\right)}_{\text{passe-bas}} \cdot \underbrace{\left(\frac{\omega/\omega_{g,\mathrm{HP}}}{\sqrt{1 + \omega^2/\omega_{g,\mathrm{HP}}^2}}\right)}_{\text{passe-haut}} \end{gathered} \]

(Hochpass = passe-haut, Schaltung = montage.) Le signal traverse d’abord le passe-bas actif dans la partie gauche du montage. La perturbation de haute fréquence y est filtrée et le signal amplifié. Dans le signal u_Aus,OP, u_Stör,2 est donc déjà atténué.

Le signal traverse ensuite le passe-haut formé de R₃ et C₃, qui élimine la perturbation de basse fréquence.

Bien que nous travaillions ici sur un exemple, les formules constituent déjà une solution générale. La position des fréquences de coupure varie d’un exercice à l’autre, mais vous ne la fixez qu’au dimensionnement des composants.

Il existe un autre montage permettant de réaliser un comportement passe-bande : un passe-haut actif suivi d’un passe-bas passif. Vous pouvez aussi faire suivre un passe-haut actif d’un passe-bas actif. La combinaison des montages connus laisse beaucoup de place à la créativité. Pour finir, je voudrais vous montrer un montage particulièrement élégant :

Passe-bande actif avec C_1 et R_1 en entrée et C_2 en parallèle sur R_2 — Ein = entrée

\[ \begin{gathered} |H(\omega)| = |v| \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{1 + \omega^2/\omega_{g,\mathrm{TP}}^2}}\right) \cdot \left(\frac{\omega/\omega_{g,\mathrm{HP}}}{\sqrt{1 + \omega^2/\omega_{g,\mathrm{HP}}^2}}\right) \\[6pt] \text{avec } v = -\frac{R_2}{R_1};\ \omega_{g,\mathrm{HP}} = \frac{1}{R_1 C_1};\ \omega_{g,\mathrm{TP}} = \frac{1}{R_2 C_2} \end{gathered} \]

Le passe-haut est déterminé par les composants R₁ et C₁ ; R₂ et C₂ fixent la fréquence de coupure du passe-bas. Je vais traiter un exemple avec ce montage :

Exemple

Spectre de l’exercice : signaux parasites à 1 1/s et 1M 1/s, signal utile à 1k 1/s

Objectifs :

Amplifier le signal utile au total avec \(v = -10\)
Atténuer au maximum les deux signaux parasites

Questions :

Tracez le diagramme de Bode correspondant aux objectifs
Choisissez un montage et dimensionnez les composants. Prenez \(R_1 = 1\,\mathrm{k\Omega}\).
Calculez le rapport signal sur bruit SSA à la sortie du montage pour les deux perturbations

Solution :

\[ \begin{gathered} \text{Montage passe-bande actif avec } \omega_{g,\mathrm{HP}} = 100\,\tfrac{1}{\mathrm{s}} \text{ et } \omega_{g,\mathrm{TP}} = 10\mathrm{k}\,\tfrac{1}{\mathrm{s}} \text{ ainsi que } v = -10 \\[6pt] \text{Composants : } R_2 = |v| \cdot R_1 = 10\,\mathrm{k\Omega};\ C_1 = \frac{1}{R_1 \omega_{g,\mathrm{HP}}} = 10\,\text{µF};\ C_2 = \frac{1}{R_2 \omega_{g,\mathrm{TP}}} = 10\,\mathrm{nF} \\[6pt] \hat{u}_{\mathrm{Nutz}} = 100\,\mathrm{mV};\ \hat{u}_{\mathrm{Stör}1} = 10\,\mathrm{mV};\ \hat{u}_{\mathrm{Stör}2} = 10\,\mathrm{mV} \\[6pt] \text{Lu sur le diagramme de Bode :} \\[6pt] |H(\omega_{\mathrm{Nutz}})| = 10;\ |H(\omega_{\mathrm{Stör},1})| = 0{,}1;\ |H(\omega_{\mathrm{Stör},2})| = 0{,}1 \\[6pt] \hat{u}_{\mathrm{Aus,OP,Nutz}} = |H(\omega_{\mathrm{Nutz}})| \cdot \hat{u}_{\mathrm{Nutz}} = 10 \cdot 100\,\mathrm{mV} = 1\,\mathrm{V} \\[6pt] \hat{u}_{\mathrm{Aus,OP,Stör}1} = |H(\omega_{\mathrm{Stör}1})| \cdot \hat{u}_{\mathrm{Stör}1} = 0{,}1 \cdot 10\,\mathrm{mV} = 1\,\mathrm{mV} \\[6pt] \hat{u}_{\mathrm{Aus,OP,Stör}2} = |H(\omega_{\mathrm{Stör}2})| \cdot \hat{u}_{\mathrm{Stör}2} = 0{,}1 \cdot 10\,\mathrm{mV} = 1\,\mathrm{mV} \\[6pt] \mathrm{SSA}_{\mathrm{Störung1,Aus}} = \left|\frac{\hat{u}_{\mathrm{Aus,OP,Nutz}}}{\hat{u}_{\mathrm{Aus,OP,Stör}1}}\right| = \frac{1\,\mathrm{V}}{1\,\mathrm{mV}} = 1000 \\[6pt] \mathrm{SSA}_{\mathrm{Störung2,Aus}} = \left|\frac{\hat{u}_{\mathrm{Aus,OP,Nutz}}}{\hat{u}_{\mathrm{Aus,OP,Stör}2}}\right| = \frac{1\,\mathrm{V}}{1\,\mathrm{mV}} = 1000 \end{gathered} \]

Simulation

Le gain v = −10 agit sur les trois signaux. Le signal utile traverse tous les filtres sans modification et n’est amplifié que par v = −10.

Le signal parasite de basse fréquence u_Stör,1 est atténué d’un facteur 100 par le passe-haut. Cette valeur peut être déterminée mathématiquement ou lue sur le diagramme de Bode. Le signal traverse le passe-bas sans modification, car sa fréquence est si basse que le passe-bas y présente |H| = 1. Au total, le signal est amplifié d’un facteur −10 / 100 = −0,1.

Le signal parasite de haute fréquence u_Stör,2 est atténué d’un facteur 100 par le passe-bas. Le signal traverse le passe-haut sans modification, car sa fréquence est si haute que le passe-haut y présente |H| = 1. Au total, le signal est amplifié d’un facteur −10 / 100 = −0,1.