Métrologie › Filtres, partie 1 › Filtres électriques

Dimensionnement des filtres

Le filtre est caractérisé par sa fréquence de coupure. Jusqu’ici, nous l’avons supposée fixe et avons examiné comment le filtre modifie les signaux. En pratique, la démarche est exactement inverse : vous disposez de signaux et voulez les modifier avec un filtre particulier.

Le signal utile doit traverser le filtre sans modification. Nous voulons réduire le plus possible la valeur de crête des signaux parasites. Construisons pour cela un filtre adapté. Comment choisir la fréquence de coupure pour satisfaire au mieux ces deux conditions ? Examinons d’abord un exemple, pour en déduire la démarche générale.

Spectre avec signal utile à ω_Nutz = 1k 1/s et signal parasite à ω_Stör = 100k 1/s — Nutz = utile

Sur le diagramme de Bode ci-dessus, vous voyez à gauche un axe des ordonnées pour la fonction de transfert |H(ω)|, en rouge. À droite figure un autre axe des ordonnées, en bleu, pour les tensions. Nous représentons sur un même diagramme des valeurs de crête de tensions de signal (bleu) et une fonction de transfert de filtre (rouge). Dans un premier temps, nous ne regardons que les tensions. Un signal utile de valeur de crête 10 mV et de pulsation ω_Nutz = 1k 1/s est représenté par la flèche du milieu. Un signal parasite de valeur de crête 1 mV et de pulsation ω_Stör = 100k 1/s est représenté par la flèche de droite (Nutz = utile, Stör = parasite).

Les signaux sont en fait des points et non des flèches. La pointe des flèches indique les points qui représentent les valeurs de crête des tensions sur l’axe de droite.

Plaçons ensuite sur le diagramme une fonction de transfert |H(ω)| en rouge, de sorte que le filtre laisse passer le signal utile sans modification, avec |H(ω_Nutz)| = 1. Comme le filtre présente déjà un gain |H| ≈ 0,7 à la fréquence de coupure, nous plaçons toujours la fréquence de coupure au moins 10 fois plus haut que la fréquence utile.

\[ \omega_g \ge 10 \cdot \omega_{\mathrm{Nutz}} \]

Fixons d’abord la fréquence de coupure à ω_g = 10k 1/s. Le diagramme de Bode correspondant se présente ainsi :

Passe-bas avec ω_g = 10k 1/s : signal utile inchangé, signal parasite atténué — Nutz = utile

Le filtre au diagramme de Bode rouge amplifie le signal utile avec |H(ω_Nutz)| = 1 et le signal parasite avec |H(ω_Stör)| = 0,1. Vous lisez ce gain sur l’axe de gauche, aux fréquences des signaux concernés.

Un autre filtre, de fréquence de coupure ω_g = 100k 1/s, se présente ainsi :

Passe-bas avec ω_g = 100k 1/s : signal parasite à peine atténué — Nutz = utile

Ce filtre amplifie lui aussi le signal parasite avec |H(ω_Stör)| = 1 (avec l’approximation de Bode), ou plus précisément avec |H| ≈ 0,7 (sans approximation). La valeur de crête du signal parasite n’est guère réduite par ce filtre. Le filtre de fréquence de coupure ω_g = 10k 1/s convient mieux. De manière générale :

Un filtre est d’autant plus efficace que sa fréquence de coupure est éloignée d’une fréquence parasite.

Calcul du gain

Vous utilisez le diagramme de Bode comme simplification, pour ne plus avoir à calculer. Vous pouvez néanmoins calculer le gain d’un filtre : il suffit d’insérer dans la fonction de transfert la pulsation ω pour laquelle vous voulez le gain. Prenons un nouvel exemple :

\[ \begin{gathered} \omega_g = 10\mathrm{k}\,\tfrac{1}{\mathrm{s}},\quad \omega_{\mathrm{Nutz}} = 1\mathrm{k}\,\tfrac{1}{\mathrm{s}},\quad \omega_{\mathrm{Stör},1} = 100\mathrm{k}\,\tfrac{1}{\mathrm{s}},\quad \omega_{\mathrm{Stör},2} = 1\mathrm{M}\,\tfrac{1}{\mathrm{s}} \\[6pt] |H(\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega/\omega_g)^2}} \\[6pt] |H(\omega_{\mathrm{Nutz}})| = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(1\mathrm{k}\,\frac{1}{\mathrm{s}} / 10\mathrm{k}\,\frac{1}{\mathrm{s}}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (0{,}1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1{,}01}} \approx 1 \\[6pt] |H(\omega_{\mathrm{Stör},1})| = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(100\mathrm{k}\,\frac{1}{\mathrm{s}} / 10\mathrm{k}\,\frac{1}{\mathrm{s}}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 10^2}} = \frac{1}{\sqrt{101}} \approx \frac{1}{10} = 0{,}1 \\[6pt] |H(\omega_{\mathrm{Stör},2})| = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(1\mathrm{M}\,\frac{1}{\mathrm{s}} / 10\mathrm{k}\,\frac{1}{\mathrm{s}}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 100^2}} \approx \frac{1}{100} = 0{,}01 \end{gathered} \]

Atténuation

L’atténuation est l’inverse du gain. Ce terme s’est imposé en métrologie, bien que le gain suffise déjà à décrire tous les effets. Si un signal est par exemple amplifié d’un facteur 0,01, on peut aussi dire qu’il est atténué d’un facteur 100. Il est plus parlant de dire qu’un signal est atténué d’un facteur 100 que de dire qu’il est amplifié de 0,01. En formule (D = Dämpfung, atténuation) :

\[ D(\omega) = \frac{1}{|H(\omega)|} \]

L’atténuation dépend – tout comme le gain – de la fréquence. Ce n’est qu’un nouveau mot, sans véritable signification nouvelle.

Fréquence et pulsation

Jusqu’ici, tous les calculs ont été faits avec la pulsation ω, une grandeur peu intuitive. Vous pouvez aussi mener toutes les considérations sur les filtres avec la fréquence f. On a :

\[ \begin{gathered} \omega = 2\pi \cdot f \\[6pt] f = \frac{\omega}{2\pi} \\[6pt] \omega_g = \frac{1}{RC},\quad f_g = \frac{1}{2\pi RC} \end{gathered} \]

En pratique, vous rencontrerez les deux représentations. Si vous choisissez la forme avec ω, le calcul de la fréquence de coupure est plus simple, car le facteur 2π disparaît. Les fréquences sont habituellement données en f. À la prise de courant, on a par exemple f = 50 Hz, ce qui correspond à une pulsation ω = 314 1/s. Dans le diagramme de Bode, les valeurs de l’axe des abscisses changent d’un facteur 2π si on le trace en fonction de f. C’est ce que montrent les diagrammes de Bode suivants, d’abord avec la pulsation ω, puis avec la fréquence f en abscisse. Observez les axes des abscisses des deux figures pour voir la différence.

Diagramme de Bode en fonction de la pulsation ω, graduations 1k, 10k, 100k, 1M — Nutz = utile

Le même diagramme de Bode en fonction de la fréquence f en Hz (0,16 Hz à 160 kHz) — Nutz = utile