À propos des formules
Pendant votre scolarité, vous découvrez un très grand nombre de formules. Votre enseignant vous explique une relation, et à la fin il y a une formule pour vous. Votre enseignant est alors content. Beaucoup de vidéos YouTube sur des sujets techniques fonctionnent exactement de la même manière : une explication très faible d’une relation est suivie de la formule, comme si celle-ci était le but d’une explication.
Une formule, à elle seule, ne vaut rien. Elle n’a de sens que dans un contexte technique et lorsqu’on en a vraiment besoin. Les formules sont importantes pour décrire mathématiquement le monde qui nous entoure. Mais aujourd’hui, toutes les relations sur lesquelles vous calculez pendant vos études sont déjà décrites par des formules. Les mathématiques sont bien plus avancées que ce dont vous avez besoin pour vos formules. Vous pouvez consulter n’importe quelle formule à tout moment. Alors pourquoi les formules sont-elles (toujours) l’objectif à la fin d’une explication ?
Les formules définissent une relation à l’aide des mathématiques sous la forme d’une équation. Une équation nous dit beaucoup sur la relation. D’abord, elle contient un signe égal : les deux membres de l’équation sont donc égaux. Si nous avons besoin d’une valeur plus grande à gauche du signe égal, nous devons aussi mettre une valeur plus grande à droite. Par exemple, 2 = 2 est une affirmation vraie. Si nous augmentons le membre de gauche à 3, il n’y a qu’une seule affirmation vraie : 3 = 3. Le membre de droite doit lui aussi être augmenté de la même valeur.
Si une formule est de la forme
alors y augmente si a augmente ou si b diminue. Qu’une grandeur se trouve au numérateur ou au dénominateur est toujours important. Si y doit diminuer, il faut soit que b augmente, soit que a diminue. La formule montre donc aussi comment une grandeur agit. Les grandeurs au numérateur augmentent la valeur numérique. Les grandeurs au dénominateur la réduisent.
Dans une centrale de pompage-turbinage, l’eau est pompée la nuit vers un lac de montagne. Le jour, l’eau redescend à travers les turbines vers le lac de la vallée. Le jour, on a besoin d’une énergie W = 1 MWh. Vous devez concevoir cette installation. Comment procédez-vous ?
Vous constatez rapidement qu’il vous faut des formules pour le dimensionnement. Vous cherchez donc des formules pour l’énergie. Vous en trouvez beaucoup sur Internet :
1. Énergie thermique WTHE=…
2. Énergie cinétique WKIN=…
3. Énergie potentielle WPOT=…
4. Énergie électrique WEL=…
5. Énergie chimique WCH=…
et bien d’autres …
Pour toutes les formes d’énergie, vous trouvez des articles et des formules. Il n’existe manifestement pas une seule formule permettant de calculer l’énergie. Chaque formule n’est valable que pour un type d’énergie donné, et encore seulement pour une relation ou un contexte précis. Les formules sont souvent décrites pour une géométrie particulière, et une configuration un peu différente a déjà une autre formule. L’art ne consiste donc pas à calculer un résultat avec une formule – des applications sauront bientôt le faire seules, sans vous. Le défi consiste à trouver la bonne formule pour votre application.
Considérons l’énergie potentielle. Elle décrit une énergie déterminée par la force de gravitation, c’est-à-dire l’attraction terrestre. Cette forme d’énergie est importante pour pomper l’eau vers le haut ou pour calculer quelle énergie est libérée lorsqu’elle redescend. Examinons-la de plus près à titre d’exemple, en chaussant les lunettes d’un ingénieur qui ne se contente pas d’insérer des nombres et de calculer un résultat, mais qui comprend la formule.
Pour les formes mécaniques d’énergie dans lesquelles une force agit le long d’un chemin, on a de manière générale
Intuitivement, il faut investir de l’énergie pour soulever un objet. De l’énergie est libérée, par exemple pour un mouvement autonome, lorsque l’objet tombe. Ici, une force agit donc le long d’un chemin, et ce chemin est la variation de hauteur h. On a
Nous pouvons décrire la force de gravitation par la formule Fg = m ∙ g. Elle est valable dans le contexte où des masses sont déplacées dans un champ de gravitation le long des lignes de champ. À la surface de la Terre, l’intensité du champ g a la valeur constante
Sur la Lune, g est plus petit, sur le Soleil plus grand ; il dépend de la masse de l’astre. Si nous nous éloignons de la Terre, la valeur de g diminue également ; elle dépend de la distance au centre de la planète. En cas de doute, il faut beaucoup se documenter pour appliquer correctement cette formule apparemment simple. En insérant la force de gravitation, on obtient
Les paramètres m et g sont indépendants de la hauteur h. L’intégrale peut donc se simplifier en WPOT = m ∙ g ∙ h. Résoudre un problème réel est différent de résoudre un exercice d’examen. Les deux utilisent des formules. Profitez déjà de vos études pour remettre en question les formules avec lesquelles on peut prétendument calculer un problème.
Comment bien utiliser les formules pendant vos études ?
1. Vous avez souvent le droit d’utiliser un aide-mémoire de formules à l’examen. Notez pour chaque formule le contexte dans lequel elle est valable, afin d’utiliser la bonne formule à l’examen.
2. Si vous comprenez ce qui se passe lorsque les paramètres de la formule varient, vous pouvez juger si vous avez la bonne formule pour le problème. Si, pour dimensionner la centrale de pompage-turbinage, vous trouvez des formules d’énergie avec la température, la charge ou l’intensité de rayonnement comme paramètres, elles ne décrivent manifestement pas votre problème. Recherchez les formules valables possibles, faites-vous une idée des paramètres et de leur effet dans la formule, et assurez-vous ainsi d’avoir trouvé la bonne formule.
3. Vérifiez pour quelle géométrie la formule est valable. Il existe peut-être une formule spécifique pour votre géométrie.
4. N’insérez jamais de nombres dans une formule sans réfléchir pour ensuite déclarer le résultat valable.