Électrotechnique BMT & UFC › Analyse des circuits 1

Montage en parallèle

Deux composants sont montés en parallèle si aucun autre composant ne se trouve entre les bornes qui les relient. Si l’on se place en pensée sur une borne d’un composant, on ne peut atteindre une borne de l’autre composant qu’en suivant des conducteurs. Si cela vaut pour les deux bornes des deux composants, ceux-ci sont montés en parallèle.

Ce critère vous permet de vérifier si un circuit comporte un montage en parallèle. Dans un montage en parallèle, la même tension apparaît aux bornes des deux composants d’après la loi des mailles : on a

Montage en parallèle de R1 et R2 avec la maille tracée — Ges = total

\[ \text{Maille : } -U_1 + U_2 = 0\,\mathrm{V} \text{ ou } U_1 = U_2 \]

Dans un montage en parallèle, le courant se répartit selon la loi des nœuds. Plus de deux composants peuvent être montés en parallèle.

Réseau avec R1 et R2 en série ainsi que R3 et R4 en parallèle

Dans le circuit d’exemple, on peut vérifier quels composants sont en parallèle. Placez-vous en pensée sur la borne supérieure de la résistance R₃. Vous n’atteignez la borne supérieure de R₄ qu’en suivant des conducteurs. Placez-vous ensuite sur la borne inférieure de R₃. Vous atteignez également la borne inférieure de R₄ uniquement par des conducteurs – donc sans qu’un autre composant ne soit sur le chemin. Ces composants sont donc en parallèle.

Si vous faites le même test avec R₂ et R₃, vous constaterez que, vus depuis la borne supérieure de R₃, ils sont directement reliés. Mais vus depuis la borne inférieure de R₃, la source de tension et R₁ sont sur le chemin. R₂ et R₃ ne sont donc pas en parallèle.

Si le même circuit est dessiné un peu différemment, l’analyse devient un peu plus difficile. Le schéma ci-dessous correspond exactement au précédent du point de vue de ses liaisons et de sa fonction, mais la disposition des résistances et de la source est moins heureuse. Dans ce circuit, on a l’impression au premier coup d’œil que R₁ et R₂ sont en parallèle, tandis que le montage en parallèle de R₃ et R₄ n’est plus reconnaissable comme tel au premier coup d’œil.

Le même réseau dessiné autrement : R3 et R4 sont en parallèle

Attention : tous les composants dessinés parallèlement l’un à l’autre ne sont pas forcément montés en parallèle, et tous les composants dessinés l’un au-dessus ou à côté de l’autre ne sont pas forcément en série.

Dans un montage en parallèle aussi, le calcul serait simplifié si l’on pouvait regrouper les deux résistances en une seule, qui se comporte comme le montage en parallèle des deux. Ici aussi : le comportement de la résistance équivalente est identique à celui du montage en parallèle si la tension et le courant sont les mêmes dans les deux circuits.

Regroupement du montage en parallèle en une résistance totale RGes — Ges = total

Le courant dans la résistance équivalente R_Ges doit être égal à la somme des courants partiels dans R₁ et R₂. On a :

\[ R_{\mathrm{Ges}} = \frac{U_{\mathrm{Ges}}}{I_0} = \frac{U_{\mathrm{Ges}}}{I_1 + I_2} \]

Comme une somme apparaît au dénominateur pour des résistances en parallèle, la fraction ne peut pas être transformée aussi simplement que pour le montage en série. L’équation est plus simple à résoudre avec des conductances qu’avec des résistances :

\[ \begin{gathered} G_{\mathrm{Ges}} = \frac{I_0}{U_{\mathrm{Ges}}} = \frac{I_1 + I_2}{U_{\mathrm{Ges}}} = \frac{I_1}{U_{\mathrm{Ges}}} + \frac{I_2}{U_{\mathrm{Ges}}} = G_1 + G_2 \\[6pt] R = \frac{1}{G} \\[6pt] \frac{1}{R_{\mathrm{Ges}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{R_2}{R_1 R_2} + \frac{R_1}{R_1 R_2} = \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2} \\[6pt] R_{\mathrm{Ges}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \\[6pt] \text{Notation abrégée : } R_{\mathrm{Ges}} = R_1 \,||\, R_2 \end{gathered} \]

La notation abrégée avec les deux traits verticaux parallèles sert uniquement à réduire l’écriture. Elle indique dans un calcul que deux composants sont en parallèle. On entend toujours par là la notation mathématiquement correcte juste au-dessus. Exemple :

\[ \begin{gathered} R_1 = 8\,\Omega \\[4pt] R_2 = 8\,\Omega \\[4pt] R_1 \,||\, R_2 = \frac{8\,\Omega \cdot 8\,\Omega}{8\,\Omega + 8\,\Omega} = \frac{64\,\Omega^2}{16\,\Omega} = 4\,\Omega \end{gathered} \]

Simulation

En parallèle, on a toujours : la résistance équivalente est plus petite que les résistances d’origine. En série, c’est l’inverse.

Pour les tensions de deux composants en parallèle, on a :

\[ U_1 = U_2 = U_{\mathrm{Ges}} \]

Pour calculer la résistance équivalente, on utilise donc la même tension au numérateur, mais un courant plus grand au dénominateur. C’est pourquoi la résistance équivalente est toujours plus petite que les résistances partielles.

Le montage en parallèle de résistances peut s’expliquer avec le modèle hydraulique par deux tuyaux qui courent côte à côte. La différence de hauteur des tuyaux est la même, de même que la tension aux bornes de deux résistances en parallèle est la même. Pour simplifier, supposons que les deux tuyaux aient le même diamètre, la même longueur et le même paramètre de matériau. Si nous essayons de décrire les deux tuyaux par un seul tuyau équivalent aux mêmes propriétés, nous constatons : la section A du tuyau équivalent doit être doublée.

Pour la résistance d’un seul tuyau, on a

\[ \begin{gathered} R_{\mathrm{Rohr1}} = R_{\mathrm{Rohr2}} = \rho \cdot \frac{l}{A} \\[6pt] R_{\mathrm{Ges}} = \rho \cdot \frac{l}{2 \cdot A} \end{gathered} \]

La résistance effective – c’est-à-dire l’entrave à l’écoulement de l’eau qui traverse les tuyaux du fait d’une différence de hauteur – a été divisée par deux par le montage en parallèle.

Deux tuyaux parallèles de section A agissent comme un tuyau de section 2A

Le réseau d’exemple du chapitre précédent, dans lequel les résistances en série ont déjà été regroupées, peut être encore simplifié. Les quatre résistances équivalentes sont en parallèle.

Montage en parallèle des résistances de branche RG1 à RG4 — Ges = total

\[ \begin{gathered} G_{\mathrm{Ges}} = G_{G1} + G_{G2} + G_{G3} + G_{G4} \\[6pt] \frac{1}{R_{\mathrm{Ges}}} = \frac{1}{R_{G1}} + \frac{1}{R_{G2}} + \frac{1}{R_{G3}} + \frac{1}{R_{G4}} \\[6pt] R_{\mathrm{Ges}} = \cfrac{1}{\cfrac{1}{R_{G1}} + \cfrac{1}{R_{G2}} + \cfrac{1}{R_{G3}} + \cfrac{1}{R_{G4}}} \\[6pt] R_{\mathrm{Ges}} = R_1 \,||\, R_2 \,||\, R_3 \,||\, R_4 \end{gathered} \]

Circuit équivalent avec la résistance totale RGes — Ges = total

Le circuit peut encore être fortement simplifié. Le circuit du bas se comporte, du point de vue de la tension et du courant, exactement comme celui du haut si la résistance totale est calculée selon les règles du montage en parallèle. Pour la résistance, la tension et le courant du circuit complet se calculent facilement avec la loi d’Ohm en une seule équation. C’est une réduction considérable de la complexité. Tout circuit composé de composants linéaires peut être simplifié de cette manière.

Il existe une simulation en ligne sur de nombreux thèmes d’électrotechnique qui illustre très bien le comportement de la tension et du courant. Le montage en parallèle de deux résistances y est très joliment simulé. Rendez-vous sur Falstad (https://www.falstad.com/circuit/) et choisissez :

Circuits/Basics/Ohm's Law, Kirchhoff's Law 1

Dans la simulation, vous voyez le niveau de tension sous forme de couleur : en haut de la source, les 5 V en vert, en bas à la masse, les 0 V en gris. L’intensité du courant est représentée par un mouvement de particules. Vous voyez que plus de courant traverse la résistance de faible valeur que celle de forte valeur. Vous pouvez régler les valeurs de la source et des résistances et observer où et combien de courant circule.

Dans l’exemple « Mixed resistor circuits » juste en dessous dans le menu, vous trouverez de quoi simuler des montages en série. Vous pouvez créer et observer des montages en série et en parallèle avec des interrupteurs. J’apprécie beaucoup cet outil, car il explique l’électrotechnique de manière graphique et sans nombres. Vous trouverez sur Falstad des exemples parlants pour beaucoup d’autres thèmes de ce tutoriel.

Analogie entre tension, potentiel et hauteurs

Les potentiels et les tensions dans les mailles peuvent être comparés aux hauteurs des pièces d’une maison. Sur la figure suivante, considérons à droite un circuit électrique d’exemple avec des tensions et des potentiels donnés. Les potentiels sont en rouge et les tensions en bleu. La tension de la source U₀ = 5 V se répartit en tensions partielles sur 5 résistances.

Analogie : hauteurs dans la maison et potentiels dans le réseau — Zimmer = pièce

À gauche est représentée une maison avec des pièces de hauteurs différentes. Les pièces correspondent aux résistances. La maison mesure 5 m de haut au total. La hauteur totale de la maison se répartit en hauteurs partielles des pièces. Les hauteurs absolues des plafonds correspondent aux valeurs des potentiels du circuit. Les différences de hauteur correspondent aux tensions.

La pièce 1 occupe tout l’étage supérieur. La pièce 3 est aussi haute que les pièces 2, 4 et 5 réunies. Ces pièces sont superposées ou côte à côte. Un montage en série correspond à l’empilement de pièces les unes sur les autres. Un montage en parallèle correspond à la disposition de pièces côte à côte.

L’équation de la maille de droite U₃ = U₂ + U₄ + U₅ peut être transposée aux différences de hauteur. La différence de hauteur de la pièce 3 correspond manifestement à la somme des différences de hauteur des pièces 2, 4 et 5.