Métrologie › Filtres, partie 2 › Types de filtres

Filtre passe-haut

Un filtre passe-haut laisse passer les signaux de haute fréquence et atténue les signaux de basse fréquence. Prenons comme exemple une perturbation typique de basse fréquence : le ronflement du secteur à f_Netz = 50 Hz. Tous les systèmes de mesure raccordés au réseau 230 V présentent dans le signal de mesure un signal parasite de faible amplitude à 50 Hz. Pour l’exemple, supposons qu’un signal utile ait la pulsation ω_Nutz = 100k 1/s. La pulsation de la perturbation vaut ω_Stör = 2πf_Netz = 314 1/s. Les valeurs de crête et les fréquences sont représentées sur le diagramme de Bode ci-dessous (Netz = secteur, Nutz = utile, Stör = parasite).

La valeur de crête du signal parasite doit être réduite le plus possible par un filtre, sans que le signal utile soit affecté. Les deux signaux sont de nouveau représentés par des flèches dans le domaine fréquentiel.

Spectre avec signal parasite à ω_Stör = 314 1/s et signal utile à ω_Nutz = 100k 1/s — Stör = perturbation · Nutz = utile

Un filtre adapté laisse le signal utile inchangé en présentant une allure horizontale avec |H| = 1 au niveau du signal utile. La fréquence de coupure la plus proche est éloignée d’un facteur 10 du signal utile ; sinon, le filtre a déjà trop d’influence sur le signal utile (voir la discussion au chapitre sur le passe-bas). Il atténue le signal parasite : le module de sa fonction de transfert à ω_Stör est inférieur à 1. C’est ce que décrit le diagramme de Bode souhaité suivant :

Approximation de Bode d’un passe-haut avec ω_g = 10k 1/s : atténuation en dessous, bande passante au-dessus de la fréquence de coupure — Bereich = plage · Reduktion = réduction · Durchlass = passante (bande passante) · Nutz = utile

On lit sur le diagramme que le filtre amplifie le signal parasite d’un facteur d’environ 0,03, c’est-à-dire qu’il l’atténue d’un facteur 30 environ. Ce comportement est appelé « passe-haut », car il laisse passer les signaux de haute fréquence et atténue ceux de basse fréquence.

Réalisation et dimensionnement

Examinons d’abord une réalisation passive sans amplificateur opérationnel. Pour des raisons de coût, la solution utilise de nouveau un condensateur plutôt qu’une bobine. Le filtre passe-haut le plus simple est formé d’un condensateur et d’une résistance en série. Nous voyons d’abord la démonstration avec les nombres complexes, puis plus bas celle avec les réactances :

Démonstration avec les nombres complexes

Passe-haut RC : condensateur C en série, résistance R en sortie — Aus = sortie

\[ \underline{H}_{\mathrm{Filter}}(\omega) = \frac{\underline{u}_{\mathrm{Aus}}}{\underline{u}_{\mathrm{Ein}}} = \frac{\underline{Z}_R}{\underline{Z}_R + \underline{Z}_C} = \frac{R}{R + \frac{1}{j\omega C}} = \frac{j\omega RC}{1 + j\omega RC} = \frac{j\omega/\omega_g}{1 + j\omega/\omega_g} \text{ avec } \omega_g = \frac{1}{RC} \]

À la dernière étape, j’ai multiplié numérateur et dénominateur par jωC. Considérons d’abord de nouveau les deux domaines de la fonction de transfert :

\[ \begin{gathered} \underline{H}_{\mathrm{Filter}}(\omega) = \frac{j\omega/\omega_g}{1 + j\omega/\omega_g} \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} \text{Domaine 1 : } \omega \ll \omega_g \\[6pt] \text{Ce domaine contient } \omega = 0\,\tfrac{1}{\mathrm{s}}\text{ : } \underline{H}_{\mathrm{Filter}}\left(0\,\tfrac{1}{\mathrm{s}}\right) = \frac{j0/\omega_g}{1 + j0/\omega_g} = 0 \\[6pt] \text{Au dénominateur : } 1 \gg j\omega/\omega_g \\[6pt] \underline{H}_{\mathrm{Filter}}(\omega) = \frac{j\omega/\omega_g}{1 + j\omega/\omega_g} \approx \frac{j\omega/\omega_g}{1} \sim \omega \\[6pt] \text{La fonction de transfert croît linéairement avec } \omega. \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} \text{Domaine 2 : } \omega \gg \omega_g \\[6pt] \text{Ce domaine contient } \omega \rightarrow \infty\text{ : } \underline{H}_{\mathrm{Filter}}(\infty) = \frac{j\infty/\omega_g}{1 + j\infty/\omega_g} = 1 \\[6pt] \text{Au dénominateur : } 1 \ll j\omega/\omega_g \\[6pt] \underline{H}_{\mathrm{Filter}}(\omega) = \frac{j\omega/\omega_g}{1 + j\omega/\omega_g} \approx \frac{j\omega/\omega_g}{j\omega/\omega_g} = 1 \\[6pt] \text{La fonction de transfert est constante.} \end{gathered} \]

L’allure du diagramme de Bode correspond à la fonction de transfert du montage. Ce montage réalise donc un comportement passe-haut (passif). Nous ne considérons de nouveau que le module de la fonction de transfert. On a :

\[ |\underline{H}_{\mathrm{Filter}}(\omega)| = \left|\frac{j\omega/\omega_g}{1 + j\omega/\omega_g}\right| = \frac{\omega/\omega_g}{\sqrt{1 + \omega^2/\omega_g^2}} \]

Démonstration avec les réactances

\[ H_{\mathrm{Filter}}(\omega) = \frac{\hat{u}_{\mathrm{Aus}}}{\hat{u}_{\mathrm{Ein}}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + \frac{1}{\omega^2 C^2}}} = \frac{\omega RC}{\sqrt{1 + R^2 \omega^2 C^2}} = \frac{\omega/\omega_g}{\sqrt{1 + \omega^2/\omega_g^2}} \text{ avec } \omega_g = \frac{1}{RC} \]

Considérons d’abord de nouveau les deux domaines de la fonction de transfert :

\[ H_{\mathrm{Filter}}(\omega) = \frac{\omega/\omega_g}{\sqrt{1 + \omega^2/\omega_g^2}} \]

\[ \begin{gathered} \text{Domaine 1 : } \omega \ll \omega_g \\[6pt] \text{Ce domaine contient } \omega = 0\,\tfrac{1}{\mathrm{s}}\text{ : } H_{\mathrm{Filter}}\left(0\,\tfrac{1}{\mathrm{s}}\right) = \frac{0/\omega_g}{\sqrt{1 + 0^2/\omega_g^2}} = 0 \\[6pt] \text{Au dénominateur : } 1^2 \gg \left(\frac{\omega}{\omega_g}\right)^2 \\[6pt] H_{\mathrm{Filter}}(\omega) = \frac{\omega/\omega_g}{\sqrt{1 + \omega^2/\omega_g^2}} \approx \frac{\omega/\omega_g}{1} \sim \omega \\[6pt] \text{La fonction de transfert croît linéairement avec } \omega. \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} \text{Domaine 2 : } \omega \gg \omega_g \\[6pt] \text{Ce domaine contient } \omega \rightarrow \infty\text{ : } H_{\mathrm{Filter}}(\infty) = \frac{\infty/\omega_g}{\sqrt{1 + \infty^2/\omega_g^2}} = 1 \\[6pt] \text{Au dénominateur : } 1^2 \ll \left(\frac{\omega}{\omega_g}\right)^2 \\[6pt] H_{\mathrm{Filter}}(\omega) = \frac{\omega/\omega_g}{\sqrt{1 + \omega^2/\omega_g^2}} \approx \frac{\omega/\omega_g}{\omega/\omega_g} = 1 \\[6pt] \text{La fonction de transfert est constante.} \end{gathered} \]

Nous ne considérons de nouveau que le module de la fonction de transfert. On a :

\[ |H_{\mathrm{Filter}}(\omega)| = \frac{\omega/\omega_g}{\sqrt{1 + \omega^2/\omega_g^2}} \]

Passe-haut avec bobine et résistance

Remarque : ce sous-chapitre n’est pas au programme de l’examen. Il n’est expliqué qu’avec les nombres complexes.

J’ai mentionné dans les chapitres précédents que les filtres peuvent aussi être réalisés avec des bobines. Je voudrais le montrer une fois sur un filtre passe-haut. Dans la pratique de la métrologie, on utilise plutôt des condensateurs, car ils sont moins chers et plus petits, et les bobines perturbent d’autres parties du montage par leur champ.

Tout montage dont la fonction de transfert présente un comportement passe-haut agit comme un passe-haut. Nous cherchons donc un montage avec bobine et résistance présentant le comportement suivant :

\[ \text{Fonction de transfert générale d’un passe-haut : } H = \frac{j\frac{\omega}{\omega_g}}{1 + j\frac{\omega}{\omega_g}} \]

Résistance R et bobine L en série, sortie u_L aux bornes de la bobine — Impedanz = impédance · Widerstand = résistance

\[ \begin{gathered} \text{Impédance de la résistance : } \underline{Z}_R = R \\[6pt] \text{Impédance de la bobine : } \underline{Z}_L = j\omega L \\[6pt] \text{Diviseur de tension : } \underline{u}_L = \underline{u}_0 \cdot \frac{\underline{Z}_L}{\underline{Z}_R + \underline{Z}_L} = \underline{u}_0 \cdot \frac{j\omega L}{R + j\omega L} \\[6pt] \text{Division par } R\text{ : } \underline{u}_L = \underline{u}_0 \cdot \frac{j\omega\frac{L}{R}}{1 + j\omega\frac{L}{R}} = \underline{u}_0 \cdot \frac{j\frac{\omega}{\omega_0}}{1 + j\frac{\omega}{\omega_0}} \text{ avec } \omega_0 = \frac{R}{L} \\[6pt] \underline{H} = \frac{\underline{u}_L}{\underline{u}_0} = \frac{j\frac{\omega}{\omega_0}}{1 + j\frac{\omega}{\omega_0}} \rightarrow \text{comportement passe-haut} \end{gathered} \]

Bobines et condensateurs se comportent de façon réciproque à bien des égards. Si vous réalisez un passe-bas avec une résistance et un condensateur et remplacez le condensateur par une bobine, vous obtenez un passe-haut.

Choix de la fréquence de coupure

Remarque : à partir d’ici, le contenu est de nouveau au programme de l’examen.

La fréquence de coupure doit être placée de sorte que le signal utile traverse le filtre presque sans modification et que la perturbation soit atténuée le plus possible. Pour le passe-haut, nous plaçons donc la fréquence de coupure 10 fois plus bas que la fréquence utile. Attention : pour le passe-bas, c’est exactement l’inverse !

\[ \begin{gathered} \omega_g = 0{,}1 \cdot \omega_{\mathrm{Nutz}} \\[6pt] f_g = 0{,}1 \cdot f_{\mathrm{Nutz}} \end{gathered} \]

Filtre passe-haut actif

Tous les montages dont la fonction de transfert peut se mettre sous la forme

\[ |H_{\mathrm{Filter}}(\omega)| = \frac{\omega/\omega_g}{\sqrt{1 + \omega^2/\omega_g^2}} \]

sont des filtres passe-haut. Ce comportement est obtenu avec le montage amplificateur suivant :

Passe-haut actif : R_1 et C en série avant l’amplificateur inverseur, contre-réaction par R_2 — Ein = entrée

\[ \begin{gathered} \textcolor{#c00000}{\text{Nombres complexes : } \underline{H}(\omega) = -\frac{\underline{Z}_2}{\underline{Z}_1} = -\frac{R_2}{R_1 + \frac{1}{j\omega C}} = -\frac{j\omega R_2 C}{1 + j\omega R_1 C} = -\frac{j\omega R_1 R_2 C}{R_1(1 + j\omega R_1 C)}} \\[6pt] \textcolor{#c00000}{= -\frac{R_2}{R_1} \cdot \left(\frac{j\omega R_1 C}{1 + j\omega R_1 C}\right) = v \cdot \left(\frac{\frac{j\omega}{\omega_g}}{1 + \frac{j\omega}{\omega_g}}\right) \rightarrow |\underline{H}(\omega)| = |v| \cdot \left(\frac{\omega/\omega_g}{\sqrt{1 + \omega^2/\omega_g^2}}\right)} \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} \textcolor{#1f5fbf}{\text{Réactances : } H(\omega) = -\frac{X_2}{X_1} = -\frac{R_2}{\sqrt{R_1^2 + \frac{1}{\omega^2 C^2}}} = -\frac{\omega R_2 C}{\sqrt{1 + R_1^2 \omega^2 C^2}} = -\frac{R_1 \cdot \omega R_2 C}{R_1 \cdot \sqrt{1 + R_1^2 \omega^2 C^2}}} \\[6pt] \textcolor{#1f5fbf}{= -\frac{R_2}{R_1} \cdot \frac{\omega R_1 C}{\sqrt{1 + R_1^2 \omega^2 C^2}} = v \cdot \left(\frac{\omega/\omega_g}{\sqrt{1 + \omega^2/\omega_g^2}}\right) \rightarrow |H(\omega)| = |v| \cdot \left(\frac{\omega/\omega_g}{\sqrt{1 + \omega^2/\omega_g^2}}\right)} \end{gathered} \]

On reconnaît maintenant un terme de gain indépendant de la fréquence, v = −R₂/R₁, et le filtre de fréquence de coupure ω_g = 1/(R₁C). La structure du montage réalise amplification et filtrage passe-haut. L’importance du gain et la fréquence de coupure sont déterminées par les valeurs des composants, que vous fixez spécifiquement pour votre application.

À retenir : dans ce montage, ce sont les composants placés entre la source de tension et l’entrée inverseuse qui déterminent la fréquence de coupure. Dans le montage en série, peu importe que le condensateur soit placé à gauche ou à droite de la résistance R₁.

Exercice

\[ \begin{gathered} \text{Objectif : } u_{\mathrm{Aus,OP}} = 5\,\mathrm{V} \cdot \sin(\omega t) \\[6pt] u_{\mathrm{Sensor}} = u_{\mathrm{Nutz}} + u_{\mathrm{Stör}} \\[6pt] u_{\mathrm{Nutz}} = 100\,\mathrm{mV} \cdot \sin(\omega_{\mathrm{Nutz}} t) \text{ avec } \omega_{\mathrm{Nutz}} = 10\mathrm{k}\,\tfrac{1}{\mathrm{s}} \\[6pt] u_{\mathrm{Stör}} = 10\,\mathrm{mV} \cdot \sin(\omega_{\mathrm{Stör}} t) \text{ avec } \omega_{\mathrm{Stör}} = 10\,\tfrac{1}{\mathrm{s}} \end{gathered} \]

Questions :

Déterminer la structure du montage, le type de filtre, la fréquence de coupure et le gain
Dimensionner les composants. On a \(R_1 = 1\,\mathrm{k\Omega}\).
De quel facteur le montage augmente-t-il le rapport signal sur bruit ?

Solution

Le gain est dimensionné pour le signal utile. 100 mV doivent être amplifiés à 5 V : il faut un facteur 50. Il nous faut donc un amplificateur et non une solution passive. Le gain de l’amplificateur inverseur pour filtres vaut alors v = −50. Le signe ne gêne pas pour des grandeurs sinusoïdales ; il ne fait que déphaser de 180°.

La fréquence parasite est inférieure à la fréquence utile : il nous faut donc un filtre passe-haut (actif). Pour un passe-haut, la fréquence de coupure est placée 10 fois plus bas que la fréquence utile, ici donc à 1k 1/s.

Passons au dimensionnement. Je trace directement le diagramme de Bode du montage complet, en intégrant le gain v = −50 (attention : en module !) dans l’axe de gauche :

Diagramme de Bode de la solution : passe-haut avec ω_g = 1k 1/s et gain 50

Passe-haut actif de la solution — Aus = sortie

\[ \begin{gathered} |H(\omega)| = |v| \cdot \left(\frac{\omega/\omega_g}{\sqrt{1 + \omega^2/\omega_g^2}}\right) = \left|-\frac{R_2}{R_1}\right| \cdot \left(\frac{\omega/\omega_g}{\sqrt{1 + \omega^2/\omega_g^2}}\right) \text{ avec } \omega_g = \frac{1}{R_1 C} \\[6pt] v = -50 = -\frac{R_2}{R_1} \rightarrow R_2 = 50 \cdot R_1 = 50 \cdot 1\,\mathrm{k\Omega} = 50\,\mathrm{k\Omega} \\[6pt] \omega_g = 1\mathrm{k}\,\frac{1}{\mathrm{s}} = \frac{1}{R_1 C} \rightarrow C = \frac{1}{R_1 \omega_g} = \frac{1}{1\,\mathrm{k\Omega} \cdot 1\mathrm{k}\,1/\mathrm{s}} = 1\,\text{µF} \\[6pt] u_{\mathrm{Nutz}}(\omega) = 100\,\mathrm{mV};\ u_{\mathrm{Stör}}(\omega) = 10\,\mathrm{mV} \\[6pt] |u_{\mathrm{Aus,OP,Nutz}}| = |H(\omega_{\mathrm{Nutz}})| \cdot u_{\mathrm{Nutz}}(\omega) = 50 \cdot 100\,\mathrm{mV} = 5\,\mathrm{V} \\[6pt] |u_{\mathrm{Aus,OP,Stör}}| = |H(\omega_{\mathrm{Stör}})| \cdot u_{\mathrm{Stör}}(\omega) = 0{,}5 \cdot 10\,\mathrm{mV} = 5\,\mathrm{mV} \\[6pt] \text{Rapport signal sur bruit à l’entrée de l’AOP : } \mathrm{SSA}_{\mathrm{Ein}} = \left|\frac{u_{\mathrm{Nutz}}}{u_{\mathrm{Stör}}}\right| = \frac{100\,\mathrm{mV}}{10\,\mathrm{mV}} = 10 \\[6pt] \text{Rapport signal sur bruit à la sortie de l’AOP : } \mathrm{SSA}_{\mathrm{Aus}} = \left|\frac{u_{\mathrm{Aus,OP,Nutz}}}{u_{\mathrm{Aus,OP,Stör}}}\right| = \frac{5\,\mathrm{V}}{5\,\mathrm{mV}} = 1000 \end{gathered} \]

Simulation

Le montage fait passer le rapport signal sur bruit de 10 à 1000, soit un facteur 100.