Modellierung

Ein reelles technisches System wird durch mathematische Gleichungen beschrieben. Gleichungen helfen beim Ausrechnen. Sie helfen aber wenig beim Verstehen. Für das Verständnis eignet sich ein Blockschaltbild besser. In einem Blockschaltbild wird ein System in Teilsysteme zerlegt.

Das Blockschaltbild besteht aus (Funktions-)Blöcken, die mit Signalen verbunden sind. Zur Vereinfachung betrachten wir in diesem Tutorial nur Blöcke mit einem Eingangs- und einem Ausgangssignal. Ein Block wird mathematisch durch die Übertragungsfunktion beschrieben. Es gilt

Beispiel eines Funktionsblocks: Getriebe

Ein Getriebe weist als Eingangsgröße die Drehzahl N1 an der Eingangsachse (schwarz) auf. Auf der Eingangsachse befindet sich ein Zahnrad (blau) mit Z1=20 Zähnen. Eine Ausgangsachse weist ein kleineres Zahnrad mit Z2=10 Zähnen auf. Es ist mit dem ersten Zahnrad verbunden. Die Drehzahl der Ausgangsachse N2 ist der Ausgang des Getriebes.

Das Getriebe wird als Block modelliert. Eingang des Blocks ist die Drehzahl N1. Ausgang ist die Drehzahl N2. Das Getriebe wird dadurch beschrieben, dass die Ausgangsdrehzahl auf die Eingangsdrehzahl bezogen wird. Der Block wird als Rechteck mit der Bezeichnung in der Mitte gezeichnet. Die Signale werden als Pfeile mit Bezeichner darüber gezeichnet.

Die Drehzahlen stehen in folgendem Zusammenhang mit der Anzahl der Zähne der Zahnräder:

Damit können wir die Übertragungsfunktion unabhängig von den Werten an Ein- und Ausgängen beschreiben:

Das ist für die Modellierung wichtig, denn die Drehzahlen ändern sich, die Anzahl der Zähne der Zahnräder aber nicht. Die Übertragungsfunktion muss unabhängig von den aktuellen Werten der Eingangs- und Ausgangsgröße durch innere Größen definiert sein.

Mit der Übertragungsfunktion können Sie aus einer Eingangsgröße direkt die Ausgangsgröße ausrechnen. Durch Umstellen der Gleichung erhalten wir

Für die Modellierung eines Blocks benötigen Sie also die Benennung von Ein- und Ausgangsgröße sowie den mathematischen Zusammenhang zwischen den beiden.

Addition und Subtraktion

Für ein Blockschaltbild müssen Signale addiert und subtrahiert werden. Diese mathematischen Operationen werden folgendermaßen modelliert:

Soll subtrahiert werden, wird ein Minus-Zeichen an das Signal gezeichnet, das subtrahiert werden soll.

Multiplikation und Division

Wenn wir das Produkt zweier Größen modellieren wollen, dann fügen wir dafür einen Block mit einer Übertragungsfunktion ein. Der Faktor, mit dem multipliziert wird, entspricht dabei der Übertragungsfunktion H des Blocks. Wir schreiben den Zahlenwert des Faktors in den Block hinein. Soll z. B. Signal B mit Faktor 5 multipliziert werden, dann modellieren Sie das folgendermaßen:

Wenn wir dividieren möchten, dann verwenden wir als Faktor H des Blocks einen Bruch. Um das Signal B durch 5 zu teilen nutzen Sie folgende Modellierung:

Weiter