Wir können das Wassermodell mit elektrischen Komponenten nachbauen. Es besteht dann aus einer idealen Spannungsquelle (Quelle), einem Widerstand (Rohr) und einem Kondensator (Eimer). Die Spannungsquelle ist eine Wechselspannungsquelle. Die Komponenten sind in Reihe geschaltet. Sie können ein elektrisches Filter auch aus Widerstand und Spule bauen. Das ist mit dem Wassermodell nur nicht zu erklären. Dazu kommen wir später noch.
Die Eingangsgröße des Filters ist die Quellenspannung u0. Die Ausgangsgröße ist die Spannung am Kondensator uc. Wir können erneut eine Übertragungsfunktion H angeben.
Übertragungsfunktion H
Wir betrachten Filter nur im Frequenzbereich, niemals im Zeitbereich. Wir benötigen für den Ausgang der Filterschaltung die Spannung am Kondensator. Kondensator und Widerstand bilden einen Spannungsteiler mit komplexen Impedanzen. Wir brauchen am Eingang keine ideale Spannungsquelle, sondern nur eine Eingangsspannung. Damit ist das Filter allgemeiner definiert.
Für die vorletzte Umformung habe ich den Bruch mit jωC in Zähler und Nenner multipliziert. Da der Faktor ω in der Gleichung enthalten ist, ist das Verhalten des Filters offenbar abhängig von der Frequenz ω = 2πf. Es werden zwei Bereiche unterschieden:
Bereich 1: Für sehr kleine Frequenzen gilt im Nenner des Bruchs 1 >> ωRC. Wenn ω auf der rechten Seite der Gleichung nur klein genug ist, dann ist die 1 viel größer. Damit kann der Term jωRC gegenüber der 1 vernachlässigt werden. In der Formel lassen wir ihn für sehr kleine Frequenzen also weg. Der Bruch wird dann zu:
Es gilt dann uAus = uEin. Signale mit sehr kleiner Frequenz passieren das Filter also unverändert.
Bereich 2: Im anderen Fall betrachten wir sehr hohe Frequenzen mit 1 << ωRC im Nenner des Bruchs. Wenn ω auf der rechten Seite der Gleichung nur groß genug gewählt wird, dann ist die 1 viel kleiner als dieser rechte Term. Diesmal vernachlässigen wir die 1 und lassen sie weg. Die Übertragungsfunktion lässt sich vereinfachen zu
Die Übertragungsfunktion sinkt mit steigender Kreisfrequenz ω. Die Ausgangsspannung sinkt also bei konstanter Eingangsspannung mit 1/ω. Das entspricht dem Verhalten f(x) = 1/x aus der Schulmathematik. Das Ausgangssignal wird in der Phase um -j gedreht. Es wird über der Zeit gegenüber dem Eingangssignal nach rechts verschoben. Das deckt sich mit der Überlegung aus dem Wassermodell.
Grenzfrequenz
An der Stelle ωRC = 1 ändert sich das Verhalten. Wir nennen die Frequenz, bei der diese Gleichung erfüllt ist, die Grenzfrequenz ωg. Es gilt
Die Übertragungsfunktion an der Grenzfrequenz erhalten wir, indem wie die Grenzkreisfrequenz in die Formel der Übertragungsfunktion einsetzen:
Wie wirkt das Filter an der Grenzfrequenz? Dazu lassen wir ein Testsignal das Filter durchlaufen, dessen Signalfrequenz der Grenzfrequenz entspricht. An der Grenzfrequenz reduziert das Filter den Spitzenwert des Testsignals etwa um Faktor 0,7. Das Ausgangssignal ist gegenüber dem Testsignal am Eingang um φ = -π/4 zeitlich nach rechts verschoben. Das Filter hat also bereits an der Grenzfrequenz Auswirkungen auf das Eingangssignal.
Die Grenzfrequenz trennt Bereich 1 und Bereich 2 voneinander. Signale mit Frequenzen viel kleiner als die Grenzfrequenz passieren das Filter nahezu unverändert. Diese Signale liegen in Bereich 1. Ist die Frequenz eines Signals viel größer als die Grenzfrequenz liegt das Signal in Bereich 2. Rund um die Grenzfrequenz wird das Signal auch schon leicht vom Filter verändert. Dieser Bereich ist mathematisch unschön.
Wir betrachten zunächst den Betrag der Übertragungsfunktion über der Frequenz. Die Phasendrehung lassen wir vorerst weg. Der Betrag der Übertragungsfunktion |H(ω)| zeigt folgenden Verlauf über ω, wenn als Grenzfrequenz ωg = 30 1/s angesetzt wird:
In der oberen Abbildung ist auf der y-Achse das Übertragungsverhalten – also die Verstärkung – aufgetragen. Auf der x-Achse ist die Kreisfrequenz ω aufgetragen. Wir können also wie in der Schulmathematik Wertepaare von Übertragungsfunktion H und Kreisfrequenz ω auftragen.
Wie ist die Abbildung oben entstanden? Wir berechnen den Betrag der Übertragungsfunktion aus |uAus / uEin| für viele Werte von ω. Diese tragen wir dann mit ω auf der x-Achse in das Diagramm ein. Jeder Wert der Übertragungsfunktion ist für eine Signalfrequenz gültig.
Aus der Abbildung oben kann die Grenzfrequenz des Filters abgelesen werden. An der Grenzfrequenz beträgt der Betrag der Übertragungsfunktion |H(ωg)| = 0,7.
Die Grenzfrequenz eines Systems wird über die Werte von R und C in der Schaltung festgelegt. Wir können also über die Bauelementgrößen der Filterschaltung festlegen, wo die Grenzfrequenz liegt. In der Abbildung oben habe ich sie willkürlich auf ωg = 30 1/s festgelegt. Sie können andere Werte wählen, indem Sie R und/oder C verändern. Ganz allgemein beschreiben wir Filter in der folgenden Form:
