Rechnen mit Einheiten

Wir beginnen mit Grundlagen zu physikalischen Einheiten. Ohne das richtige Verständnis von Einheiten können wir nicht arbeiten, denn jede physikalische Größe macht nur mit einer Einheit zusammen Sinn.

Einheiten sind eine Konvention, also eine freiwillige Übereinkunft. Sie haben das Ziel der internationalen Vereinheitlichung von Maßen. Die Länge eines Tisches kann z. B. in den Einheiten Meter, Zentimeter oder Zoll erfolgen. Der Zahlenwert vor der Einheit hat dann jeweils eine andere Bedeutung. Wir verwenden ausschließlich SI-Einheiten, für die Länge also Meter.

Die Angabe der Länge eines 85 cm langen Beispiel-Tisches erfolgt als l = 0,85 m. Darin enthalten sind

– l: Bezeichner für eine Länge

– 0,85: Zahlenwert

– m: SI-Einheit Meter

Diese drei Angaben sind mindestens erforderlich um die Länge eines Tisches nach der Konvention richtig zu beschreiben. Die Antwort „0,85“ ist danach falsch, denn es fehlen Bezeichner und Einheit. Die Angaben l = 0,85m oder l = 85 cm sind für Längenangaben beide richtig. Die Angabe in Meter ist bei technischen Systemen allerdings üblich. Meter ist die so genannte „SI-Einheit“, also die offiziell verwendete Einheit.

Werden in diesem Text elektrische Größen neu eingeführt, bekommen Sie in einer Tabelle jeweils Bezeichner und Einheit aufgelistet. Sie lernen also pro physikalischer Größe drei Vokabeln auswendig: Die Größe (z. B. Zeit), den Bezeichner (z. B. t) und die Einheit (z. B. Sekunde). Damit können Sie eine Zeitangabe von 3 Sekunden korrekt als t = 3 s schreiben.

Um sehr große und sehr kleine Zahlenwerte übersichtlich zu beschreiben werden Vorfaktoren verwendet. Den Vorfaktor Centi (c) haben Sie oben für die Länge des Tisches bereits kennengelernt. Eine sehr kleine Länge könnte als l=0,00003 m, als l = 3 ∙ 10-5 m oder als l = 30 µm beschrieben werden. Hier wird der Vorfaktor µ = 10-6 verwendet. Vorfaktoren ersparen das Schreiben vieler Nullen. Folgende Vorfaktoren werden in der Elektrotechnik üblicherweise genutzt:

Vorfaktoren wirken wie eine Multiplikation mit der zugehörigen Zehnerpotenz. Das Gewicht m = 1kN (Kilo-Newton) entspricht 1 ∙ 103 N, da Kilo der Zehnerpotenz 103 zugeordnet ist.

Warum soll ich das lernen?

In der Elektrotechnik werden viele Werte mit Vorfaktoren angegeben. Sie können deshalb viele Aufgaben nur lösen, wenn Sie die Vorfaktoren beherrschen. In einer Aufgabenstellung ist z. B. eine Spannung in U = 5kV angegeben. Das bedeutet: Die Spannung U hat den Wert 5000 Volt. Ohne die Bedeutung und den zugeordneten Zahlenwert des „k“ zu kennen können Sie diese Aufgabe nicht lösen. Sie müssen in Lösungen von Aufgaben die Werte teilweise ebenfalls mit Vorfaktoren angeben.

Viele Studierende unterschätzen dieses Problem. Ich sehe in Prüfungen viele Lösungen, die aufgrund der falschen Verarbeitung des Vorfaktors falsch sind. Also nehmen Sie das Thema bitte ernst. Sie brauchen das natürlich auch für viele andere Fächer im Studium.

SI-Einheiten

Neben dem Rechnen mit Vorfaktoren müssen Sie auch Einheiten umrechnen können. Es gibt 7 Basis-Einheiten, die SI-Einheiten. Die Basis-Einheiten lauten:

– m: Meter für die Längenmessung

– kg: Kilogramm für die Gewichtsmessung

– s: Sekunde für die Zeitmessung

– A: Ampere für die Messung des elektrischen Stroms

– K: Kelvin für die Temperaturmessung

– cd: Candela für die Lichtstärkemessung

– mol: Mol für die Stoffmenge in der Chemie

Aus diesen Einheiten werden alle anderen Einheiten über Multiplikation und Division zusammengesetzt. Dies wird am Beispiel der Einheit der Kraft beschrieben: Die Kraft in der Mechanik hat die Einheit Newton (N). Es gilt

Wenn wir eine Formel für Einheiten aufstellen, dann werden die Bezeichner zu den Einheiten in eckige Klammern gesetzt. Die Aussage „Die Einheit der Kraft ist Newton“ schreiben wir als Formel [F] = N. Die Kraft F wird aus dem Produkt von Masse und Beschleunigung berechnet. Die Einheit der Kraft wird aus dem Produkt der Einheit der Masse mit der Einheit der Beschleunigung berechnet. So werden aus SI-Einheiten abgeleitete Einheiten wie das Newton N für die Kraft.

Wenn am Ende bei einer Kraftberechnung eine Einheit wie z. B.

herausbekommen, dann fehlt im Nenner eine Sekunde. Ihre Formel zur Berechnung war also falsch. Wahrscheinlich haben Sie dann auch einen Fehler im Zahlenwert. Deshalb werden Einheiten gerne zur Kontrolle einer Berechnung eingesetzt. Stimmt in einer Rechnung die Einheit, stimmt wahrscheinlich auch die Formel und dann stimmt hoffentlich auch der Zahlenwert.

Es können nur Größen gleicher Einheit addiert oder subtrahiert werden. Wenn Sie bei einer Kraftberechnung das Ergebnis FGes = 3 N + 2 s herausbekommen, dann haben Sie sich definitiv verrechnet. Der zweite Term muss auch die Einheit Newton aufweisen, sonst können die Terme nicht addiert werden.

Es können Terme unterschiedlicher Einheiten multipliziert oder dividiert werden.

Als Beispiel rechnen ich Ihnen vor, wie Aufgaben mit Einheiten und Vorfaktoren gelöst werden können. Mit diesem Rechenschema machen Sie erfahrungsgemäß weniger Fehler.

Aufgabe 1: Berechnen Sie die Kraft F (vorgerechnet).

Zuerst werden die Vorfaktoren der Eingangswerte a und m in Potenzen umgewandelt. Die Einheiten werden als SI-Einheiten angegeben. Dafür muss z. B. das Gramm g in Kilogramm kg umgewandelt werden. Anschließend werden die Zahlenwerte 130 und 33 miteinander multipliziert. Die Exponenten der Potenzen werden addiert. Die Klammern in der mittleren Zeile sind mathematisch nicht notwendig, sie zeigen nur an, welche Werte im nächsten Schritt zusammengefasst werden. Am Ende kann das Ergebnis in Exponentialschreibweise oder mit Vorfaktor angegeben werden. Die letzten drei Ergebnisse sind alle gleichwertig richtig. Sie treffen in der Praxis alle drei Formen an.

Einschub: Unsere Vorfahren haben an einer Stelle gepennt: Das Meter wird durch ein kleines „m“ bezeichnet. Der Vorfaktor Milli ebenfalls. Wenn Sie ein „m“ in einer Formel sehen, ist das dann ein Meter oder ein Milli? Das Problem lösen wir durch eine Konvention: Der Vorfaktor steht immer vor allen Einheiten. Wir schreiben also für 1000 Meter immer km statt mk. Wenn Sie ein kleines „m“ vor den Einheiten sehen, dann steht es für Milli. Steht das kleine „m“ hinter den Vorfaktoren, steht es für „Meter“. Das Meter setzen wir zur Sicherheit immer ans Ende aller Einheiten.

Nach diesem Schema rechnen Sie bitte folgende Aufgaben:

Aufgabe 2: Berechnen Sie die Strecke s der Bewegung

Lösung:

Aufgabe 3: Was ist an dieser Formel falsch?

Lösung: Es können nicht Terme unterschiedlicher Einheiten addiert werden.

Weiterführende Informationen

Youtube Vorfaktoren
Youtube physikalische Einheiten umrechnen
Aufgaben mit Lösungen

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